I derivatregning er et bøjningspunkt det punkt på en kurve, hvor kurven ændrer tegn (fra positivt til negativt eller fra negativt til positivt). Det bruges i en række forskellige emner, herunder teknik, økonomi og statistik, til at bestemme grundlæggende ændringer i data. Hvis du skal finde bøjningspunktet for en kurve, skal du gå til trin 1.
Trin
Metode 1 af 3: Forståelse af bøjningspunkter
Trin 1. Forstå den konkave funktion
For at forstå bøjningspunktet skal du skelne mellem konkave og konvekse funktioner. En konkav funktion er en funktion, hvor linjen, der forbinder to punkter på grafen, aldrig er over grafen.
Trin 2. Forstå den konvekse funktion
En konveks funktion er dybest set det modsatte af en konveks funktion: det vil sige en funktion, hvor linjen, der forbinder to punkter på grafen, aldrig er under grafen.
Trin 3. Forstå det grundlæggende i en funktion
Grundlaget for en funktion er det punkt, hvor funktionen er lig med nul.
Hvis du vil tegne en funktion, er baserne de punkter, hvor funktionen skærer x-aksen
Metode 2 af 3: Find udledningen af en funktion
Trin 1. Find det første derivat af din funktion
Inden du kan finde bøjningspunktet, skal du finde derivatet af din funktion. Den afledte af den grundlæggende funktion findes i enhver regnebog; Du skal lære dem, før du kan gå videre til mere komplicerede job. Det første derivat skrives som f '(x). For et polynomisk udtryk af formen axp + bx (p − 1) + cx + d, er det første derivat apx (p − 1) + b (p 1) x (p − 2) + c.
-
For at illustrere det, antag at du skal finde bøjningspunktet for funktionen f (x) = x3 +2x − 1. Beregn det første derivat af funktionen sådan:
f (x) = (x3 + 2x 1) ′ = (x3) ′ + (2x) ′ (1) ′ = 3x2 + 2 + 0 = 3x2 + 2
Trin 2. Find det andet derivat af din funktion
Andet derivat er det første derivat af funktionens første derivat, skrevet som f (x).
-
I ovenstående eksempel vil beregningen af det andet derivat af funktionen være sådan:
f (x) = (3x2 + 2) ′ = 2 × 3 × x + 0 = 6x
Trin 3. Gør det andet derivat lig med nul
Indstil dit andet derivat til nul og løst ligningen. Dit svar er et muligt bøjningspunkt.
-
I eksemplet ovenfor ser din beregning således ud:
f (x) = 0
6x = 0
x = 0
Trin 4. Find det tredje derivat af din funktion
For at se, om dit svar virkelig er et bøjningspunkt, skal du finde det tredje derivat, som er det første derivat af funktionens andet derivat, skrevet som f (x).
-
I eksemplet ovenfor ser din beregning således ud:
f (x) = (6x) ′ = 6
Metode 3 af 3: Find infleksionspunkter
Trin 1. Kontroller dit tredje derivat
Standardreglen for kontrol af mulige bøjningspunkter er som følger: "Hvis det tredje derivat ikke er nul, f (x) =/ 0, er det mulige bøjningspunkt faktisk bøjningspunktet." Tjek dit tredje derivat. Hvis den ikke er lig med nul, så er denne værdi det sande bøjningspunkt.
I eksemplet ovenfor er dit tredje derivat 6, ikke 0. 6 er således det sande bøjningspunkt
Trin 2. Find bøjningspunktet
Bøjningspunktets koordinater skrives som (x, f (x)), hvor x er værdien af variabelpunktet ved bøjningspunktet og f (x) er funktionsværdien ved bøjningspunktet.
-
I eksemplet ovenfor skal du huske, at når du beregner det andet derivat, finder du, at x = 0. Således skal du finde f (0) for at bestemme dine koordinater. Din beregning vil se sådan ud:
f (0) = 03 +2 × 0−1 = 1.
Trin 3. Registrer dine koordinater
Koordinaterne for dit bøjningspunkt er din x-værdi og den værdi, du har beregnet ovenfor.
