Derivater kan bruges til at udlede nyttige egenskaber fra en graf, f.eks. Maksimum-, minimums-, top-, trug- og hældningsværdier. Du kan endda bruge den til at tegne komplekse ligninger uden en grafisk lommeregner! Desværre er det ofte kedeligt at arbejde med derivater, men denne artikel hjælper dig med nogle tips og tricks.
Trin
Trin 1. Forstå afledt notation
De følgende to betegnelser er de mest almindeligt anvendte, selvom mange andre kan findes her på Wikipedia.
- Leibniz Notation Denne notation er den mest almindeligt anvendte notation, når ligningen involverer y og x. dy/dx betyder bogstaveligt talt derivatet af y med hensyn til x. Det kan være nyttigt at tænke på det som y/Δx for meget forskellige værdier af x og y. Denne forklaring fører til definitionen af den afledte grænse: limh-> 0 (f (x+h) -f (x))/t. Når du bruger denne notation for det andet derivat, skal du skrive: d2y/dx2.
- Lagrange -notation Derivatet af funktionen f er også skrevet som f '(x). Denne notation læser f accenteret x. Denne notation er kortere end Leibniz 'notation og er nyttig, når man ser derivater som funktioner. For at danne en større grad af derivat skal du blot tilføje 'til f, så det andet derivat vil være f' '(x).
Trin 2. Forstå betydningen af derivatet og årsagerne til nedstigningen
For det første, for at finde hældningen af en lineær graf, tages to punkter på linjen, og deres koordinater indtastes i ligningen (y2 - y1)/(x2 - x1). Den kan dog kun bruges til lineære grafer. For kvadratiske ligninger og højere vil linjen være en kurve, så det er ikke særlig præcist at finde forskellen mellem to punkter. For at finde tangensens hældning i en kurvediagram, tages to punkter og sættes i den generelle ligning for at finde kurvens grafens hældning: [f (x + dx) - f (x)]/dx. Dx betegner delta x, hvilket er forskellen mellem to x koordinater på to punkter i grafen. Bemærk, at denne ligning er den samme som (y2 - y1)/(x2 - x1), kun i en anden form. Da det var kendt, at resultaterne ville være upræcise, blev der anvendt en indirekte tilgang. For at finde tangentens hældning på (x, f (x)) skal dx være tæt på 0, så de to trukne punkter smelter sammen til et punkt. Du kan dog ikke opdele 0, så når du har indtastet topunktsværdierne, skal du bruge factoring og andre metoder til at fjerne dx fra bunden af ligningen. Når du har gjort det, skal du lave dx 0, og du er færdig. Dette er tangentens hældning på (x, f (x)). Afledningen af en ligning er den generelle ligning for at finde hældningen af enhver tangens på en graf. Dette kan virke meget kompliceret, men der er nogle eksempler herunder, som hjælper med at forklare, hvordan man får derivatet.
Metode 1 af 4: Eksplicitte derivater
Trin 1. Brug et eksplicit derivat, hvis din ligning allerede har y på den ene side
Trin 2. Sæt ligningen i ligningen [f (x + dx) - f (x)]/dx
For eksempel, hvis ligningen er y = x2, derivatet vil være [(x + dx)2 - x2]/dx.
Trin 3. Udvid og fjern dx for at danne ligningen [dx (2x + dx)]/dx
Nu kan du støbe to dx på toppen og bunden. Resultatet er 2x + dx, og da dx nærmer sig nul, er derivatet 2x. Det betyder, at hældningen af enhver tangens i grafen y = x2 er 2x. Indtast bare x-værdien for det punkt, som du vil finde hældningen for.
Trin 4. Lær mønstre til at udlede lignende ligninger
Her er nogle eksempler.
- Enhver eksponent er effekten gange værdien, hævet til effekten mindre end 1. For eksempel er derivatet af x5 er 5x4og derivatet af x3, 5 iis3, 5x2, 5. Hvis der allerede er et tal foran x, skal du bare gange det med strømmen. For eksempel derivatet af 3x4 er 12x3.
- Deriveret af enhver konstant er nul. Så derivatet af 8 er 0.
- Derivatet af summen er summen af de respektive derivater. For eksempel er derivatet af x3 + 3x2 er 3x2 + 6x.
- Produktets derivat er den første faktor gange derivatet af den anden faktor plus den anden faktor gange derivatet af den første faktor. For eksempel er derivatet af x3(2x + 1) er x3(2) + (2x + 1) 3x2, som er lig med 8x3 + 3x2.
- Kvotientens derivat (f.eks. F/g) er [g (derivat af f) - f (derivat af g)]/g2. For eksempel er derivatet af (x2 + 2x - 21)/(x - 3) er (x2 - 6x + 15)/(x - 3)2.
Metode 2 af 4: Implicitte derivater
Trin 1. Brug implicitte derivater, hvis din ligning ikke allerede kan skrives med y på den ene side
Faktisk, hvis du skrev y på den ene side, ville det være kedeligt at beregne dy/dx. Her er et eksempel på, hvordan du kan løse denne form for ligning.
Trin 2. I dette eksempel x2y + 2y3 = 3x + 2y, erstat y med f (x), så du kan huske, at y faktisk er en funktion.
Ligningen bliver derefter til x2f (x) + 2 [f (x)]3 = 3x + 2f (x).
Trin 3. For at finde afledningen af denne ligning, udledes begge sider af ligningen med hensyn til x
Ligningen bliver derefter til x2f '(x) + 2xf (x) + 6 [f (x)]2f '(x) = 3 + 2f' (x).
Trin 4. Udskift f (x) med y igen
Vær forsigtig med ikke at erstatte f '(x), som er forskellig fra f (x).
Trin 5. Find f '(x)
Svaret på dette eksempel bliver (3 - 2xy)/(x2 + 6 år2 - 2).
Metode 3 af 4: Higher Order Derivatives
Trin 1. Afledning af en funktion af højere orden betyder, at du udleder derivatet (til rækkefølge 2)
For eksempel, hvis problemet beder dig om at udlede tredje orden, skal du bare tage derivatet af derivatet af derivatet. For nogle ligninger vil derivatet af højere orden være 0.
Metode 4 af 4: Kæderegel
Trin 1. Hvis y er en differentialfunktion af z, og z er en differentialfunktion af x, er y en sammensat funktion af x, og derivatet af y med hensyn til x (dy/dx) er (dy/du)* (du/dx)
Kædereglen kan også være en kombination af effektligninger, som denne: (2x4 - x)3. For at finde den afledte, tænk bare på det som multiplikationsreglen. Multiplicer ligningen med effekten og reducer med 1 til effekten. Derefter multipliceres ligningen med derivatet af ligningen i parentes, der hæver effekten (i dette tilfælde 2x^4 - x). Svaret på dette spørgsmål er 3 (2x4 - x)2(8x3 - 1).
Tips
- Når du ser et svært problem at løse, skal du ikke bekymre dig. Prøv bare at opdele det i så mange mindre dele som muligt ved at anvende reglerne for multiplikation, kvotient osv. Sænk derefter hver del.
- Øv dig med multiplikationsreglen, kvotientreglen, kædereglen og især implicitte derivater, fordi disse regler er meget vanskeligere i beregning.
- Forstå din lommeregner godt; Prøv de forskellige funktioner i din lommeregner for at lære at bruge dem. Det er meget nyttigt at vide, hvordan man bruger tangenter og afledte funktioner i din lommeregner, hvis de er tilgængelige.
- Husk de grundlæggende trigonometriske derivater, og hvordan du bruger dem.
