3 måder at faktorisere et trinomial på

2024 Forfatter: Jason Gerald | [email protected]. Sidst ændret: 2024-01-15 08:11

Et trinomium er et algebraisk udtryk, der består af tre termer. Mest sandsynligt vil du begynde at lære at faktorisere et kvadratisk trinomium, hvilket betyder et trinomial skrevet i formen ax² + bx + c. Der er et par tricks at lære, som kan bruges til mange forskellige typer kvadratiske trinomier, men du vil kunne bruge dem bedre og hurtigere med øvelse. Polynom af højere orden med udtryk som x³ eller x⁴, kan ikke altid løses på samme måde, men du kan ofte bruge simpel factoring eller substitution til at gøre det til et problem, der kan løses som enhver anden kvadratisk formel.

Trin

Metode 1 af 3: Factoring x² + bx + c

Trin 1. Lær PLDT -multiplikation

Du har muligvis lært at multiplicere PLDT eller "Først, udenfor, ind, sidste" for at multiplicere udtryk som (x+2) (x+4). Det er nyttigt at vide, hvordan denne multiplikation fungerer, før vi faktor:

• Multiplicer stammerne Først: (x+2)(x+4) = x² + _

• Multiplicer stammerne Uden for: (x+2) (x+

  Trin 4.) = x²+ 4x + _

• Multiplicer stammerne I: (x+

  Trin 2.)(x+4) = x²+4x+ 2x + _

• Multiplicer stammerne Final: (x+

  Trin 2.)(x

  Trin 4.) = x²+4x+2x

  Trin 8.

• Forenkle: x²+4x+2x+8 = x²+6x+8

Trin 2. Forstå factoring

Når du multiplicerer to binomier ved hjælp af PLDT -metoden, får du et trinomial (et udtryk med tre termer) i form af et x²+ b x+ c, hvor a, b og c er almindelige tal. Hvis du starter med en ligning, der har samme form, kan du faktorisere den tilbage i to binomier.

• Hvis ligningerne ikke er skrevet i denne rækkefølge, skal du omarrangere ligningerne, så de har denne rækkefølge. For eksempel omskrive 3x - 10 + x² Bliver til x² + 3x - 10.
• Fordi den højeste effekt er 2 (x², denne type udtryk kaldes kvadratisk.

Trin 3. Efterlad et tomt mellemrum til svaret i form af PLDT -multiplikation

For nu skal du bare skrive (_ _)(_ _) hvor du vil skrive svaret. Vi fylder det, mens vi arbejder på det

Skriv ikke + eller - mellem de tomme udtryk, fordi vi ikke kender det korrekte tegn endnu

Trin 4. Udfyld de første vilkår

For enkle problemer er det første udtryk i dit trinomium bare x², vilkårene i den første position er altid x og x. Dette er faktorerne i udtrykket x² fordi x gange x = x².

• Vores eksempel x² + 3x - 10 startende med x², så vi kan skrive:
• (x _) (x _)
• Vi arbejder på mere komplekse problemer i det næste afsnit, herunder trinomier, der starter med udtryk som 6x² eller -x². I mellemtiden skal du følge disse eksempler på spørgsmål.

Trin 5. Brug factoring til at gætte de sidste vilkår

Hvis du går tilbage og læser trinene til, hvordan du multiplicerer PLDT, vil du se, at multiplikation af de sidste udtryk vil producere det sidste udtryk i polynomet (termer, der ikke har x). Så for at faktorere, er vi nødt til at finde to tal, som når de multipliceres vil producere det sidste udtryk.

• I vores eksempel x² + 3x - 10, det sidste udtryk er -10.
• Hvad er faktorerne på -10? Hvilket tal ganges med -10?
• Der er flere muligheder: -1 gange 10, 1 gange -10, -2 gange 5 eller 2 gange -5. Skriv disse par ned et sted for at huske dem.
• Ændr ikke vores svar endnu. Vores svar skal stadig se sådan ud: (x _) (x _).

Trin 6. Test de muligheder, der matcher det ydre og indre produkt

Vi har indsnævret de sidste vilkår til et par muligheder. Brug testsystemet til at teste alle muligheder, multiplicere de ydre og indre termer og sammenligne produktet med vores trinomial. For eksempel:

• Vores oprindelige problem havde udtrykket "x" ved 3x, så vores testresultater skulle matche dette udtryk.
• Test -1 og 10: (x -1) (x+10). Udenfor + Indvendig = 10x - x = 9x. Forkert.
• Test 1 og -10: (x+1) (x -10). -10x + x = -9x. Det er forkert. Faktisk, hvis du tester -1 og 10, vil du opdage, at 1 og -10 er det modsatte af svaret ovenfor: -9x i stedet for 9x.
• Test -2 og 5: (x -2) (x+5). 5x - 2x = 3x. Resultatet svarer til det indledende polynom, så her er det korrekte svar: (x-2) (x+5).
• I simple tilfælde som dette, hvis du ikke har en konstant foran udtrykket x², du kan bruge den hurtige måde: bare tilføj de to faktorer og sæt et "x" bag det (-2+5 → 3x). Denne metode fungerer dog ikke for mere komplekse problemer, så det er bedre at huske den "lange vej", der er beskrevet ovenfor.

Metode 2 af 3: Faktorering af mere komplekse trinomier

Trin 1. Brug simpel factoring til at gøre mere komplekse problemer enklere

For eksempel skal du faktorere 3x² + 9x - 30. Find et tal, der kan faktorere alle tre udtryk ("største fælles faktor" eller GCF). I dette tilfælde er GCF 3:

• 3x² = (3) (x²)
• 9x = (3) (3x)
• -30 = (3)(-10)
• Således er 3x² + 9x - 30 = (3) (x²+3x-10). Vi kan udregne det nye trinomium ved hjælp af trinene i afsnittet ovenfor. Vores sidste svar bliver (3) (x-2) (x+5).

Trin 2. Se efter mere komplicerende faktorer

Nogle gange kan factoring involvere en variabel, eller du skal muligvis faktorere flere gange for at finde det enklest mulige udtryk. Her er nogle eksempler:

• 2x²y + 14xy + 24y = (2y)(x² + 7x + 12)
• x⁴ + 11x³ - 26x² = (x²)(x² +11x - 26)
• -x² + 6x - 9 = (-1)(x² - 6x + 9)
• Glem ikke at refaktorere det nye trinomial ved hjælp af trinene i metode 1. Kontroller dit arbejde og se efter eksempler på lignende problemer i eksemplerne på spørgsmål nederst på denne side.

Trin 3. Løs problemer med et tal foran x².

Nogle kvadratiske trinomier kan ikke reduceres til den letteste type problem. Lær hvordan du løser problemer som 3x² + 10x + 8, og øv derefter på egen hånd med eksemplerne på spørgsmålene nederst på denne side:

• Indstil vores svar til at være: (_ _)(_ _)
• Vores "første" udtryk vil hver have et x, og at gange dem giver 3x². Der er kun en mulighed: (3x _) (x _).
• Angiv faktorerne 8. Oddsen er 1 gange 8 eller 2 gange 4.
• Test denne mulighed ved hjælp af Ydre og Indre vilkår. Bemærk, at rækkefølgen af faktorerne er meget vigtig, fordi det ydre udtryk ganges med 3x i stedet for x. Prøv alle muligheder, indtil du får Out+In = 10x (fra det oprindelige problem):
• (3x+1) (x+8) → 24x+x = 25x ingen
• (3x+8) (x+1) → 3x+8x = 11x ingen
• (3x+2) (x+4) → 12x+2x = 14x ingen
• (3x+4) (x+2) → 6x+4x = 10x Ja. Dette er den korrekte faktor.

Trin 4. Brug substitution til trinomier af højere orden

Din matematikbog kan overraske dig med ligninger med høje kræfter, såsom x⁴, selv efter at du har brugt simpel factoring til at gøre problemet lettere. Prøv at erstatte en ny variabel, der gør det til et problem, du ved, hvordan du løser. For eksempel:

• x⁵+13x³+36x
• = (x) (x⁴+13x²+36)
• Lad os oprette en ny variabel. Lad os sige y = x² og læg den i:
• (x) (y²+13y+36)
• = (x) (y+9) (y+4). Konverter det nu tilbage til den oprindelige variabel:
• = (x) (x²+9) (x²+4)
• = (x) (x ± 3) (x ± 2)

Metode 3 af 3: Factoring Special Cases

Trin 1. Find primtal

Se om konstanten i trinomiumets første eller tredje led er et primtal. Et primtal er kun deleligt i sig selv og 1, så der er kun et par binomiske faktorer.

• For eksempel i x² + 6x + 5, 5 er et primtal, så binomiet skal have formen (_ 5) (_ 1).
• I problemet med 3x²+10x+8, 3 er et primtal, så binomiet skal have formen (3x _) (x _).
• Ved spørgsmål 3x²+4x+1, både 3 og 1 er primtal, så den eneste mulige løsning er (3x+1) (x+1). (Du bør stadig gange dette tal for at kontrollere dit svar, fordi nogle udtryk slet ikke kan regnes med - f.eks. 3x²+100x+1 har ingen faktor.)

Trin 2. Find ud af, om trinomiet er en perfekt firkant

Et perfekt firkantet trinomial kan opdeles i to identiske binomier, og faktoren skrives normalt som (x+1)² og ikke (x+1) (x+1). Her er nogle eksempler, der har tendens til at dukke op i spørgsmål:

• x²+2x+1 = (x+1)², og x²-2x+1 = (x-1)²
• x²+4x+4 = (x+2)², og x²-4x+4 = (x-2)²
• x²+6x+9 = (x+3)², og x²-6x+9 = (x-3)²
• Perfekt firkantet trinomial i form a x² + bx + c har altid udtryk a og c, der er positive perfekte firkanter (f.eks. 1, 4, 9, 16 eller 25) og et udtryk b (positivt eller negativt), der er lig med 2 (√a * √c).

Trin 3. Find ud af, om et problem ikke har nogen løsning

Ikke alle trinomier kan medregnes. Hvis du ikke kan faktorisere et kvadratisk trinomium (aks²+bx+c), brug den kvadratiske formel til at finde svaret. Hvis det eneste svar er kvadratroden af et negativt tal, er der ingen løsning med et reelt tal, så har problemet ingen faktorer.

For ikke-firkantede trinomier skal du bruge Eisenstein-kriteriet, som er beskrevet i afsnittet Tips

Svar og eksempler på spørgsmål

1. Svar på "komplicerede factoring" spørgsmål.

   Dette er spørgsmål fra trinnet "mere komplicerede faktorer". Vi har forenklet problemerne til lettere, så prøv at løse dem ved hjælp af trinene i metode 1, og tjek derefter dit arbejde her:

   • (2y) (x² + 7x + 12) = (x+3) (x+4)
   • (x²)(x² + 11x - 26) = (x+13) (x-2)
   • (-1) (x² -6x + 9) = (x-3) (x-3) = (x-3)²

2. Prøv mere komplekse factoring -problemer.

   Disse problemer har den samme faktor i hvert udtryk, som først skal tages med i betragtning. Bloker emnerne efter lighedstegnet for at se svarene, så du kan kontrollere dit arbejde:

   • 3x³+3x²-6x = (3x) (x+2) (x-1) blokér emnet for at se svaret
   • -5x³y²+30x²y²-25 år²x = (-5xy^2) (x-5) (x-1)

3. Øv dig i at bruge spørgsmål. Disse problemer kan ikke indregnes i lettere ligninger, så du skal finde svaret i formularen (_x + _) (_ x + _) ved hjælp af trial and error:

   • 2x²+3x-5 = (2x+5) (x-1) blok for at se svaret
   • 9x²+6x+1 = (3x+1) (3x+1) = (3x+1)² (Tip: Du vil måske prøve mere end et faktorpar for 9x.)

   Tips

   • Hvis du ikke kan finde ud af at faktorisere et kvadratisk trinomium (aks²+bx+c), kan du bruge den kvadratiske formel til at finde x.

   • Selvom du ikke behøver at vide, hvordan du gør dette, kan du bruge Eisenstein -kriterierne til hurtigt at afgøre, om et polynom ikke kan forenkles og indregnes. Dette kriterium gælder for ethvert polynom, men bruges bedst til trinomier. Hvis der er et primtal p, der deler de sidste to udtryk jævnt og opfylder følgende betingelser, kan polynomet ikke forenkles:

     • Konstante udtryk (uden variabler) er multipler af p, men ikke multipler af p².
     • Præfikset (f.eks. A in ax²+bx+c) er ikke et multiplum af p.
     • For eksempel 14x² +45x +51 kan ikke forenkles, fordi der er et primtal (3), som kan deles med både 45 og 51, men ikke deles med 14, og 51 ikke er delbart med 3².

   Advarsel

   Selvom dette er tilfældet for kvadratiske trinomier, er det trinomial, der kan medregnes, ikke nødvendigvis et produkt af to binomier. For eksempel x⁴ + 105x + 46 = (x² + 5x + 2) (x² - 5x + 23).