Sådan udledes implicitte funktioner: 7 trin (med billeder)

2024 Forfatter: Jason Gerald | [email protected]. Sidst ændret: 2024-01-19 22:11

I beregning, når du har en ligning for y skrevet i formen x (f.eks. Y = x² -3x), er det let at bruge grundlæggende afledningsteknikker (af matematikere omtalt som implicitte funktionsderivatteknikker) for at finde derivatet. For ligninger, der er vanskelige at konstruere med kun y -udtrykket på den ene side af lighedstegnet (f.eks. X² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19), er en anden tilgang nødvendig. Med en teknik kaldet implicitte funktionsderivater er det let at finde derivater af ligninger med flere variable, så længe du kender det grundlæggende ved eksplicitte funktionsderivater!

Trin

Metode 1 af 2: Hurtig afledning af simple ligninger

Trin 1. Afled x -udtrykkene som normalt

Når man prøver at udlede en ligning med flere variabler som x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19, kan det være svært at vide, hvor man skal starte. Heldigvis er det første trin i afledningen af en implicit funktion det letteste. Afled bare x-termerne og konstanterne på begge sider af ligningen i henhold til reglerne for almindelige (eksplicitte) derivater til at begynde med. Ignorer y-vilkårene foreløbig.

• Lad os prøve at udlede et eksempel på den simple ligning ovenfor. x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19 har to udtryk x: x² og -5x. Hvis vi vil udlede en ligning, er vi nødt til at gøre dette først, sådan her:

  x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19

  (Bring ned til effekten 2 i x² som koefficient, fjern x i -5x, og skift 19 til 0)

  2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

Trin 2. Afled y -termerne og tilføj (dy/dx) ud for hvert udtryk

For dit næste trin skal du bare udlede y -udtrykkene på samme måde som du afledte x -udtrykkene. Denne gang skal du dog tilføje (dy/dx) ud for hvert udtryk, som du ville tilføje koefficienter. For eksempel, hvis du sænker y², så bliver derivatet 2y (dy/dx). Ignorer de udtryk, der har x og y for tiden.

• I vores eksempel ser vores ligning nu sådan ud: 2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0. Vi udfører det næste trin med at udlede y som følger:

  2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

  (Kom ned til 2 i y² som koefficienter, fjern y i 8y, og sæt dy/dx ved siden af hvert udtryk).

  2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2xy²= 0

Trin 3. Brug produktreglen eller kvoteringsreglen til udtryk med x og y

At arbejde med termer, der har x og y, er lidt vanskelig, men hvis du kender reglerne for produktet og kvotienten for derivater, finder du det let. Hvis udtrykkene x og y multipliceres, skal du bruge produktreglen ((f × g) '= f' × g + g × f '), idet x -udtrykket erstattes med f og y -udtrykket med g. På den anden side, hvis udtrykkene x og y udelukker hinanden, skal du bruge kvotientreglen ((f/g) '= (g × f' - g '× f)/g²), erstatter tælleren med f og nævneren med g.

• I vores eksempel 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2xy² = 0, har vi kun et udtryk, der har x og y - 2xy². Da x og y ganges med hinanden, bruger vi produktreglen til at udlede følgende:

  2xy² = (2x) (y²)- sæt 2x = f og y² = g i (f × g) '= f' × g + g × f '

  (f × g) '= (2x)' × (y²) + (2x) × (y²)'

  (f × g) '= (2) × (y²) + (2x) × (2y (dy/dx))

  (f × g) '= 2 år² + 4xy (dy/dx)

• Hvis vi tilføjer dette til vores hovedligning, får vi 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y² + 4xy (dy/dx) = 0

Trin 4. Alene (dy/dx)

Du er næsten færdig! Det eneste du skal gøre er at løse ligningen (dy/dx). Dette virker svært, men det er normalt ikke - husk, at to termer a og b ganges med (dy/dx) kan skrives som (a + b) (dy/dx) på grund af multiplikationens fordelingsegenskab. Denne taktik kan gøre isolering (dy/dx) lettere - bare flyt alle de andre udtryk på den anden side af parenteserne, og divider derefter med udtrykkene i parenteserne ved siden af (dy/dx).

• I vores eksempel forenkler vi 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y² + 4xy (dy/dx) = 0 som følger:

  2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y² + 4xy (dy/dx) = 0

  (2y + 8 + 4xy) (dy/dx) + 2x - 5 + 2y² = 0

  (2y + 8 + 4xy) (dy/dx) = -2y² - 2x + 5

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2y + 8 + 4xy)

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2 (2xy + y + 4)

Metode 2 af 2: Brug af avancerede teknikker

Trin 1. Indtast værdien (x, y) for at finde (dy/dx) for et hvilket som helst punkt

Sikker! Du har allerede afledt din ligning implicit - ikke et let job ved første forsøg! Brug af denne ligning til at finde gradienten (dy/dx) for ethvert punkt (x, y) er lige så let som at tilslutte x- og y -værdierne for dit punkt til højre side af ligningen og derefter finde (dy/dx).

• Antag for eksempel, at vi vil finde gradienten ved punktet (3, -4) for vores eksempelligning ovenfor. For at gøre det erstatter vi 3 med x og -4 med y og løser som følger:

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2 (2xy + y + 4)

  (dy/dx) = (-2 (-4)² - 2(3) + 5)/(2(2(3)(-4) + (-4) + 4)

  (dy/dx) = (-2 (16)-6 + 5)/(2 (2 (3) (-4))

  (dy/dx) = (-32)-6 + 5)/(2 (2 (-12))

  (dy/dx) = (-33)/(2 (2 (-12))

  (dy/dx) = (-33)/(--48) = 3/48, eller 0, 6875.

Trin 2. Brug kædereglen til funktioner inden for funktioner

Kædereglen er et vigtigt stykke viden, man skal have, når man arbejder med beregningsproblemer (herunder implicitte funktionsderiverede problemer). Kædereglen siger, at for en funktion F (x), som kan skrives som (f o g) (x), er derivatet af F (x) lig med f '(g (x)) g' (x). For vanskelige implicitte funktionsderivatproblemer betyder det, at det er muligt at udlede de forskellige individuelle dele af ligningen og derefter kombinere resultaterne.

• Antag som et enkelt eksempel, at vi er nødt til at finde derivatet af synd (3x² + x) som en del af det større implicitte funktionsderivatproblem for ligningen sin (3x² + x) + y³ = 0. Hvis vi forestiller os synd (3x² + x) som f (x) og 3x² + x som g (x), kan vi finde derivatet som følger:

  f '(g (x)) g' (x)

  (synd (3x² + x)) '× (3x² +x) '

  cos (3x² + x) × (6x + 1)

  (6x + 1) cos (3x² +x)

Trin 3. For ligninger med variablerne x, y og z finder du (dz/dx) og (dz/dy)

Selvom det er usædvanligt i grundregning, kan nogle avancerede applikationer kræve afledning af implicitte funktioner af mere end to variabler. For hver ekstra variabel skal du finde dens yderligere derivat med hensyn til x. For eksempel, hvis du har x, y og z, skal du søge efter både (dz/dy) og (dz/dx). Vi kan gøre dette ved at udlede ligningen med hensyn til x to gange - først indtaster vi (dz/dx) hver gang vi udleder et udtryk, der indeholder z, og for det andet indsætter vi (dz/dy) hver gang vi udleder z. Efter dette er det bare et spørgsmål om at løse (dz/dx) og (dz/dy).

• Lad os f.eks. Sige, at vi prøver at udlede x³z² - 5xy⁵z = x² + y³.

• Lad os først udlede mod x og indtaste (dz/dx). Glem ikke at anvende produktreglen, hvis det er nødvendigt!

  x³z² - 5xy⁵z = x² + y³

  3x²z² + 2x³z (dz/dx) - 5 år⁵z - 5xy⁵(dz/dx) = 2x

  3x²z² + (2x³z - 5xy⁵) (dz/dx) - 5 år⁵z = 2x

  (2x³z - 5xy⁵) (dz/dx) = 2x - 3x²z² + 5 år⁵z

  (dz/dx) = (2x - 3x²z² + 5 år⁵z)/(2x³z - 5xy⁵)

• Nu gør det samme for (dz/dy)

  x³z² - 5xy⁵z = x² + y³

  2x³z (dz/dy) - 25xy⁴z - 5xy⁵(dz/dy) = 3y²

  (2x³z - 5xy⁵) (dz/dy) = 3y² + 25xy⁴z

  (dz/dy) = (3y² + 25xy⁴z)/(2x³z - 5xy⁵)