3 måder at løse kubiske ligninger på

2024 Forfatter: Jason Gerald | [email protected]. Sidst ændret: 2024-01-16 19:18

Når du først finder den kubiske ligning (som er af formen ax ³ + bx ² + cx + d = 0), måske tror du, at problemet vil være svært at løse. Men ved, at løsning af kubiske ligninger faktisk har eksisteret i århundreder! Denne løsning, opdaget af italienske matematikere Niccolò Tartaglia og Gerolamo Cardano i 1500'erne, er en af de første formler, man kender i det antikke Grækenland og Rom. At løse kubiske ligninger kan være lidt svært, men med den rigtige tilgang (og tilstrækkelig viden) kan selv de vanskeligste kubiske ligninger løses.

Trin

Metode 1 af 3: Løsning ved hjælp af kvadratiske ligninger

Trin 1. Kontroller, om din kubiske ligning har en konstant

Som anført ovenfor er formen for den kubiske ligning ax ³ + bx ² + cx + d = 0. b, c, og værdien af d kan være 0 uden at påvirke formen af denne kubiske ligning; dette betyder dybest set, at den kubiske ligning ikke altid skal indeholde værdien af bx ², cx eller d for at være en kubisk ligning. For at begynde at bruge denne ret lette måde at løse kubiske ligninger på, skal du kontrollere, om din kubiske ligning har en konstant (eller en værdi på d). Hvis din ligning ikke har en konstant eller værdi for d, kan du bruge en kvadratisk ligning til at finde svaret på den kubiske ligning efter et par trin.

På den anden side, hvis din ligning har en konstant værdi, skal du bruge en anden løsning. Se trinene herunder for andre tilgange

Trin 2. Faktorér x -værdien fra den kubiske ligning

Da din ligning ikke har nogen konstant værdi, har alle komponenter i den variablen x. Dette betyder, at denne værdi af x kan tages ud af ligningen for at forenkle den. Gør dette trin og omskriv din kubiske ligning i formen x (ax ² + bx + c).

Lad os f.eks. Sige, at den oprindelige kubiske ligning her er 3 x ³ + -2 x ² + 14 x = 0. Ved at faktorisere en variabel x fra denne ligning får vi ligningen x (3 x ² + -2 x + 14) = 0.

Trin 3. Brug kvadratiske ligninger til at løse ligningerne i parentes

Du vil måske bemærke, at nogle af dine nye ligninger, der er omsluttet i parenteser, er i form af en kvadratisk ligning (ax ² + bx + c). Det betyder, at vi kan finde den værdi, der er nødvendig for at gøre denne ligning lig med nul ved at tilslutte a, b og c til den kvadratiske ligningsformel ({- b +/- √ (b ²- 4 ac)}/2 a). Udfør disse beregninger for at finde to svar på din kubiske ligning.

• I vores eksempel sættes værdierne for a, b og c (henholdsvis 3, -2 og 14) ind i den kvadratiske ligning som følger:

  {- b +/- √ (b ²- 4 ac)}/2 a

  {-(-2) +/-√ ((-2)²- 4(3)(14))}/2(3)

  {2 +/-√ (4 - (12)(14))}/6

  {2 +/-√ (4 - (168)}/6

  {2 +/-√ (-164)}/6

• Svar 1:

  {2 + √(-164)}/6

  {2 + 12,8 i}/6

• Svar 2:

  {2 - 12,8 i}/6

Trin 4. Brug nuller og dit svar på din kvadratiske ligning som dit svar på din kubiske ligning

Kvadratiske ligninger vil have to svar, mens kubiske ligninger har tre svar. Du kender allerede to svar ud af tre; som du får fra den "firkantede" del af ligningen i parentes. Hvis din kubiske ligning kan løses ved "faktorisering" som denne, er dit tredje svar næsten altid 0. Sikker! Du har lige løst en kubisk ligning.

Grunden til at denne metode virker er den grundlæggende kendsgerning, at "ethvert tal ganget med nul er lig med nul". Når du indregner din ligning i formen x (ax ² + bx + c) = 0, du deler det stort set bare i to "dele"; den ene del er x -variablen i venstre side, og den anden del er den kvadratiske ligning i parentes. Hvis en af disse to dele er nul, vil hele ligningen også være nul. Således er de to svar på den kvadratiske ligning i parentes, hvilket ville gøre det til nul, svarene på den kubiske ligning, samt 0 i sig selv - hvilket ville gøre delen på venstre side også nul.

Metode 2 af 3: Find heltalsvar ved hjælp af en faktorliste

Trin 1. Sørg for, at din kubiske ligning har en konstant værdi

Selvom metoderne beskrevet ovenfor er ret nemme at bruge, fordi du ikke behøver at lære en ny beregningsteknik for at bruge dem, hjælper de dig ikke altid med at løse kubiske ligninger. Hvis din kubiske ligning har formen ax ³ + bx ² + cx + d = 0, hvor værdien af d ikke er lig med nul, fungerer "faktoriserings" -metoden ovenfor ikke, så du skal bruge en af metoderne i dette afsnit for at løse dette.

Lad os f.eks. Sige, at vi har ligningen 2 x ³ + 9 x ² + 13 x = -6. I dette tilfælde skal vi tilføje 6 til begge sider for at få nul på højre side af ligningen. Derefter får vi en ny ligning 2 x ³ + 9 x ² + 13 x + 6 = 0, med værdien d = 6, så vi kan ikke bruge "faktoriserings" -metoden som i den foregående metode.

Trin 2. Find faktorerne a og d

For at løse din kubiske ligning skal du starte med at finde faktoren a (koefficienten x ³) og d (den konstante værdi i slutningen af ligningen). Husk, faktorer er tal, der kan ganges med hinanden for at producere et bestemt tal. For eksempel, da du kan få 6 ved at gange 6 × 1 og 2 × 3, er 1, 2, 3 og 6 faktorer på 6.

• I det eksempelproblem, vi bruger, a = 2 og d = 6. Faktoren 2 er 1 og 2. Mens faktoren 6 er 1, 2, 3 og 6.

  

  Trin 3. Divider faktoren a med faktoren d

  Angiv derefter de værdier, du får ved at dividere hver faktor a med hver faktor d. Denne beregning resulterer normalt i mange brøkværdier og flere hele tal. Heltalværdien for at løse din kubiske ligning er et af de heltal, der er opnået fra beregningen.

  I vores ligning divideres faktorværdien af a (1, 2) med faktoren d (1, 2, 3, 6) og får følgende resultater: 1, 1/2, 1/3, 1/6, 2 og 2/3. Tilføj derefter negative værdier til listen, og vi får: 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2, 2/3 og -2/3. Svaret på den kubiske ligning - som er et heltal, er på listen.

  

  Trin 4. Brug syntetisk division til manuelt at kontrollere dine svar

  Når du har en liste med værdier som ovenstående, kan du slå de heltalsværdier, der er svarene på din kubiske ligning, op ved at indtaste hvert helt tal manuelt og finde hvilken værdi, der returnerer nul. Men hvis du ikke vil bruge tid på at gøre dette, er der en måde at gøre det hurtigere på, nemlig med en beregning kaldet syntetisk division. Grundlæggende ville du dividere din heltalsværdi med de originale koefficienter a, b, c og d i din kubiske ligning. Hvis resten er nul, er denne værdi et af svarene på din kubiske ligning.

  • Syntetisk opdeling er et komplekst emne - se linket herunder for mere information. Her er et eksempel på, hvordan du finder et af svarene på din kubiske ligning med syntetisk division:

    -1 | 2 9 13 6

    _| -2-7-6

    _| 2 7 6 0

    Da vi får det endelige resultat lig med 0, ved vi, at et af heltalets svar på vores kubiske ligning er - 1.

  Metode 3 af 3: Brug af den diskriminerende tilgang

  

  Trin 1. Skriv ligningerne a, b, c og d ned

  For at finde svaret på kubikligningen på denne måde, vil vi lave mange beregninger med koefficienterne i vores ligning. På grund af dette er det en god idé at notere værdierne for a, b, c og d, før du glemmer nogen af værdierne.

  For eksempel for ligningen x ³ - 3 x ² + 3 x -1, skriv det ned som a = 1, b = -3, c = 3 og d = -1. Glem ikke, at når variablen x ikke har nogen koefficient, er dens værdi 1.

  

  Trin 2. Beregn 0 = b ² - 3 klimaanlæg.

  Den diskriminerende tilgang til at finde svar på kubiske ligninger kræver komplekse beregninger, men hvis du følger trinene omhyggeligt, kan det være meget nyttigt til at løse kubiske ligninger, der er vanskelige at løse på andre måder. Til at begynde med skal du finde værdien på 0, som er den første signifikante værdi af de flere, vi har brug for, og tilslutte den passende værdi til formlen b ² - 3 klimaanlæg.

  • I det eksempel, vi bruger, løser vi det som følger:

    b ² - 3 ac

    (-3)² - 3(1)(3)

    9 - 3(1)(3)

    9 - 9 = 0 = 0

  

  Trin 3. Beregn 1 = 2 b ³ - 9 abc + 27 a ² d.

  Den næste signifikante værdi, vi har brug for, 1, kræver en længere beregning, men kan findes på samme måde som 0. Sæt den relevante værdi i formlen 2 b ³ - 9 abc + 27 a ² d for at få værdien 1.

  • I dette eksempel løser vi det som følger:

    2(-3)³ - 9(1)(-3)(3) + 27(1)²(-1)

    2(-27) - 9(-9) + 27(-1)

    -54 + 81 - 27

    81 - 81 = 0 = 1

  

  Trin 4. Beregn = 1² - 4Δ0³) -27 a ².

  Dernæst beregner vi værdien "diskriminant" af værdierne 0 og 1. Diskriminanten er et tal, der giver dig oplysninger om roden af polynomet (du har muligvis ubevidst husket den kvadratiske diskriminerende formel: b ² - 4 klimaanlæg). I tilfælde af en kubisk ligning, hvis værdien af diskriminanten er positiv, har ligningen tre reelle tal svar. Hvis den diskriminerende værdi er lig med nul, har ligningen et eller to svar i reelt tal, og nogle af svarene har den samme værdi. Hvis værdien er negativ, har ligningen kun et reelt tal-svar, fordi ligningens graf altid vil krydse x-aksen mindst én gang.)

  • I dette eksempel, da både 0 og 1 = 0, er det meget let at finde værdien af. Vi skal bare beregne det på følgende måde:

    1² - 4Δ0³) -27 a ²

    (0)² - 4(0)³) ÷ -27(1)²

    0 - 0 ÷ 27

    0 =, så vores ligning har 1 eller 2 svar.

  

  Trin 5. Beregn C = ³(√ ((Δ1² - 4Δ0³) + 1)/ 2).

  Den sidste værdi, der er vigtig for os at få, er værdien af C. Denne værdi giver os mulighed for at få alle tre rødder i vores kubiske ligning. Løs som normalt ved at tilslutte værdierne 1 og 0 til formlen.

  • I dette eksempel får vi værdien af C ved:

    ³(√ ((Δ1² - 4Δ0³) + 1)/ 2)

    ³√(√((0² - 4(0)³) + (0))/ 2)

    ³√(√((0 - 0) + (0))/ 2)

    0 = C

  

  Trin 6. Beregn ligningens tre rødder med din variabel

  Roden (svaret) på din kubiske ligning bestemmes af formlen (b + u C + (Δ0/u C)) / 3 a, hvor u = (-1 + (-3))/2 og n er lig med 1, 2 eller 3. Sæt dine værdier i formlen for at løse dem-der kan være en del beregninger, du skal gøre, men du bør få alle tre svar på dine kubiske ligninger!

  • I dette eksempel kan vi løse det ved at kontrollere svarene, når n er lig med 1, 2 og 3. Svaret, vi får fra denne beregning, er det mulige svar på vores kubikligning - enhver værdi, vi tilslutter kubikligningen, og det giver samme resultat. med 0 er det korrekte svar. For eksempel, hvis vi får et svar svarende til 1, hvis vi i et af vores beregningseksperimenter sætter værdien 1 i ligningen x ³ - 3 x ² + 3 x - 1 giver det endelige resultat lig med 0. Således

    Trin 1. er et af svarene på vores kubiske ligning.