En kvadratisk ligning er en ligning, hvis højeste grad er 2 (kvadrat). Der er tre hovedmåder til at løse en kvadratisk ligning: factoring af den kvadratiske ligning, hvis du kan, ved hjælp af en kvadratisk formel eller udfylde kvadratet. Hvis du vil mestre disse tre metoder, skal du følge disse trin.
Trin
Metode 1 af 3: Factoring -ligninger
Trin 1. Kombiner alle de samme variabler og flyt dem til den ene side af ligningen
Det første trin til factoring af en ligning er at flytte alle de samme variabler til den ene side af ligningen, med x2er positiv. For at kombinere variabler skal du tilføje eller fratrække alle variabler x2, x og konstanter (heltal), flytte dem til den anden side af ligningen, så der ikke er noget tilbage på den anden side. Når den anden side ikke har nogen resterende variabler, skal du skrive et 0 ved siden af lighedstegnet. Sådan gør du:
- 2x2 - 8x - 4 = 3x - x2
- 2x2 +x2 - 8x -3x - 4 = 0
- 3x2 - 11x - 4 = 0
Trin 2. Faktor denne ligning
For at faktorisere denne ligning skal du bruge faktoren x2 (3) og den konstante faktor (-4), multiplicere dem og tilføje dem, så de passer til variablen i midten, (-11). Sådan gør du:
- 3x2 har kun en mulig faktor, som er, 3x og x, kan du skrive dem i parentes: (3x +/-?) (x +/-?) = 0.
- Brug derefter elimineringsprocessen til faktor 4 for at finde det produkt, der giver -11x. Du kan bruge produktet af 4 og 1, eller 2 og 2, for når du gange begge får du 4. Men husk at et af tallene skal være negativt, fordi resultatet er -4.
- Prøv (3x + 1) (x - 4). Når du gange det, er resultatet - 3x2 -12x +x -4. Hvis du kombinerer variablerne -12 x og x, er resultatet -11x, hvilket er din mellemværdi. Du har lige regnet en kvadratisk ligning.
- Lad os f.eks. Prøve at faktorisere det andet produkt: (3x -2) (x +2) = 3x2 +6x -2x -4. Hvis du kombinerer variablerne, er resultatet 3x2 -4x -4. Selvom faktorerne -2 og 2, når de multipliceres, producerer -4, er middelværdien ikke det samme, fordi du vil have en værdi på -11x i stedet for -4x.
Trin 3. Antag, at hver parentes er nul i en anden ligning
Dette lader dig finde 2 x værdier, der gør din ligning til nul. Du har regnet din ligning, så alt du skal gøre er at antage, at beregningen i hver parentes er lig med nul. Således kan du skrive 3x + 1 = 0 og x - 4 = 0.
Trin 4. Løs hver ligning separat
I en kvadratisk ligning er der 2 værdier for x. Løs hver ligning separat ved at flytte variablerne og skrive 2 svar ned for x, sådan her:
-
Løs 3x + 1 = 0
- 3x = -1….. ved at trække fra
- 3x/3 = -1/3….. ved at dividere
- x = -1/3….. ved at forenkle
-
Løs x - 4 = 0
x = 4….. ved at trække fra
- x = (-1/3, 4)….. ved at adskille flere mulige svar, hvilket betyder x = -1/3 eller x = 4 kan begge være korrekte.
Trin 5. Kontroller x = -1/3 in (3x + 1) (x -4) = 0:
Således får vi (3 [-1/3] + 1) ([-1/3]-4)? =? 0….. ved at erstatte (-1 + 1) (-4 1/3)? =? 0….. ved at forenkle (0) (-4 1/3) = 0….. ved at multiplicere Så 0 = 0….. Ja, x = -1/3 er sandt.
Trin 6. Kontroller x = 4 in (3x + 1) (x - 4) = 0:
Således får vi (3 [4] + 1) ([4] - 4)? =? 0….. ved at erstatte (13) (4 - 4)? =? 0….. ved at forenkle (13) (0) = 0….. ved at gange Så 0 = 0….. Ja, x = 4 er også sandt.
Så efter at have tjekket separat, er begge svar korrekte og kan bruges i ligninger
Metode 2 af 3: Brug af den kvadratiske formel
Trin 1. Kombiner alle de samme variabler og flyt dem til den ene side af ligningen
Flyt alle variablerne til den ene side af ligningen med værdien af variablen x2 positiv. Skriv variablerne ned med sekventielle eksponenter, så x2 skrevet først, efterfulgt af variabler og konstanter. Sådan gør du:
- 4x2 - 5x - 13 = x2 -5
- 4x2 - x2 - 5x - 13 +5 = 0
- 3x2 - 5x - 8 = 0
Trin 2. Skriv den kvadratiske formel ned
Den kvadratiske formel er: b ± b2−4ac2a { displaystyle { frac {-b / pm { sqrt {b^{2} -4ac}}} {2a}}}
Trin 3. Bestem værdierne for a, b og c fra den kvadratiske ligning
Variabel a er koefficienten x2, b er koefficienten for variablen x, og c er en konstant. Til 3x. Ligningen2 -5x -8 = 0, a = 3, b = -5 og c = -8. Skriv alle tre ned.
Trin 4. Erstat værdierne for a, b og c i ligningen
Når du kender de tre variable værdier, skal du tilslutte dem til en ligning som denne:
- {-b +/- √ (b2 - 4ac)}/2
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - 4(3)(-8))}/2(3) =
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3)
Trin 5. Udfør beregninger
Når du har indtastet tallene, skal du lave en matematik for at forenkle det positive eller negative tegn, multiplicere eller kvadrere de resterende variabler. Sådan gør du:
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3) =
- {5 +/-√(25 + 96)}/6
- {5 +/-√(121)}/6
Trin 6. Forenkle kvadratroden
Hvis tallet under kvadratroden er en perfekt firkant, får du et helt tal. Hvis tallet ikke er en perfekt firkant, skal du forenkle til sin enkleste rodform. Hvis tallet er negativt, og du mener, at det skal være negativt, bliver rodværdien kompliceret. I dette eksempel er (121) = 11. Du kan skrive x = (5 +/- 11)/6.
Trin 7. Kig efter de positive og negative svar
Når du har fjernet kvadratrodstegnet, kan du arbejde dig frem til at finde et positivt og negativt resultat for x. Nu hvor du har (5 +/- 11)/6, kan du skrive 2 svar:
- (5 + 11)/6
- (5 - 11)/6
Trin 8. Fuldfør de positive og negative svar
Udfør matematiske beregninger:
- (5 + 11)/6 = 16/6
- (5-11)/6 = -6/6
Trin 9. Forenkle
For at forenkle hvert svar divideres det med det største tal, der kan dele begge tal. Divider den første brøk med 2 og divider den anden med 6, og du har fundet værdien af x.
- 16/6 = 8/3
- -6/6 = -1
- x = (-1, 8/3)
Metode 3 af 3: Fuldfør pladsen
Trin 1. Flyt alle variablerne til den ene side af ligningen
Sørg for, at a eller variabel x2 positiv. Sådan gør du:
- 2x2 - 9 = 12x =
-
2x2 - 12x - 9 = 0
I denne ligning er variabel a 2, variabel b er -12 og variabel c er -9
Trin 2. Flyt variablen eller konstant c til den anden side
Konstanter er numeriske udtryk uden variabler. Flyt til højre side af ligningen:
- 2x2 - 12x - 9 = 0
- 2x2 - 12x = 9
Trin 3. Divider begge sider med koefficienten a eller variablen x2.
Hvis x2 ikke har en variabel, og koefficienten er 1, kan du springe dette trin over. I dette tilfælde skal du dividere alle variablerne med 2, sådan her:
- 2x2/2 - 12x/2 = 9/2 =
- x2 - 6x = 9/2
Trin 4. Del b med 2, firkant det, og tilføj resultatet til begge sider
Værdien af b i dette eksempel er -6. Sådan gør du:
- -6/2 = -3 =
- (-3)2 = 9 =
- x2 - 6x + 9 = 9/2 + 9
Trin 5. Forenkle begge sider
Faktor variablen på venstre side for at få (x-3) (x-3) eller (x-3)2. Tilføj værdierne til højre for at få 9/2 + 9 eller 9/2 + 18/2, hvilket er 27/2.
Trin 6. Find kvadratroden til begge sider
Kvadratrod af (x-3)2 er (x-3). Du kan skrive kvadratroden af 27/2 som ± √ (27/2). Således x - 3 = ± √ (27/2).
Trin 7. Forenkle rødderne og find værdien af x
For at forenkle ± √ (27/2), find den perfekte firkant mellem tallene 27 og 2 eller faktor det tal. Den perfekte firkant på 9 kan findes i 27, fordi 9 x 3 = 27. For at tage 9 ud af kvadratroden, skal du tage 9 ud af roden og skrive 3, kvadratroden, uden for kvadratroden. Lad resten 3 være i tælleren af brøken under kvadratroden, da 27 ikke udregner alle faktorerne, og skriv 2 ned herunder. Flyt derefter konstanten 3 på venstre side af ligningen til højre, og skriv dine to løsninger for x:
- x = 3 +(√6)/2
- x = 3 - (√6)/2)
Tips
- Som du kan se, vil rodmærkerne ikke forsvinde helt. Tællervariabler kan således ikke kombineres (fordi de ikke er ens). Det nytter ikke noget at adskille det til positivt eller negativt. Vi kan dog dele det med den samme faktor, men KUN hvis faktorerne er de samme for begge konstanter OG rodkoefficient.
- Hvis tallet under kvadratroden ikke er en perfekt firkant, så er de sidste trin lidt anderledes. Her er et eksempel:
- Hvis b er et lige tal, bliver formlen: {-(b/2) +/- (b/2) -ac}/a.
