I et "ligningssystem" bliver du bedt om at løse to eller flere ligninger samtidigt. Når de to ligninger har to forskellige variabler, for eksempel x og y, kan løsningen i starten virke vanskelig. Heldigvis, når du ved, hvad du skal gøre, kan du simpelthen bruge dine algebraiske færdigheder (og videnskaben om at beregne brøker) til at løse problemet. Lær også, hvordan du tegner disse to ligninger, hvis du er en visuel elev eller er påkrævet af læreren. Tegninger hjælper dig med at identificere emnet eller kontrollere resultaterne af dit arbejde. Denne metode er imidlertid langsommere end de andre metoder og kan ikke bruges til alle ligningssystemer.
Trin
Metode 1 af 3: Brug af substitutionsmetoden
Trin 1. Flyt variablerne til den modsatte side af ligningen
Substitutionsmetoden starter med at "finde værdien af x" (eller enhver anden variabel) i en af ligningerne. Sig f.eks., At ligningen af problemet er 4x + 2y = 8 og 5x + 3y = 9. Start med at arbejde med den første ligning. Omarranger ligningen ved at trække 2y fra på begge sider. Således får du 4x = 8 - 2y.
Denne metode bruger ofte brøker til sidst. Hvis du ikke kan lide at tælle brøker, kan du prøve elimineringsmetoden herunder
Trin 2. Opdel begge sider af ligningen for at "finde værdien af x"
Når udtrykket x (eller hvilken variabel du bruger) er alene på den ene side af ligningen, skal du dele begge sider af ligningen med koefficienterne, så kun variablen er tilbage. Som et eksempel:
- 4x = 8 - 2y
- (4x)/4 = (8/4) - (2y/4)
- x = 2 - y
Trin 3. Sæt x -værdien fra den første ligning i den anden ligning
Sørg for at tilslutte den til den anden ligning, i stedet for den du lige har arbejdet med. Erstat (udskift) variablen x i den anden ligning. Således har den anden ligning nu kun en variabel. Som et eksempel:
- Er kendt x = 2 - y.
- Din anden ligning er 5x + 3y = 9.
- Efter at have skiftet x -variablen i den anden ligning med x -værdien fra den første ligning, får vi "2 - y": 5 (2 - y) + 3y = 9.
Trin 4. Løs de resterende variabler
Nu har din ligning kun en variabel. Beregn ligningen med almindelige algebraiske operationer for at finde værdien af variablen. Hvis de to variabler annullerer hinanden, skal du springe direkte til det sidste trin. Ellers får du en værdi for en af variablerne:
- 5 (2 - y) + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (Hvis du ikke forstår dette trin, kan du lære at tilføje brøker.)
- 10 + y = 9
- y = -1
- y = -2
Trin 5. Brug det opnåede svar til at finde den sande værdi af x i den første ligning
Stop ikke lige endnu, fordi dine beregninger ikke er udført endnu. Du skal tilslutte det opnåede svar til den første ligning for at finde værdien af de resterende variabler:
- Er kendt y = -2
- En af ligningerne i den første ligning er 4x + 2y = 8. (Du kan bruge en af dem.)
- Erstat y -variablen med -2: 4x + 2 (-2) = 8.
- 4x - 4 = 8
- 4x = 12
- x = 3
Trin 6. Ved, hvad du skal gøre, hvis de to variabler annullerer hinanden
Når du går ind x = 3y+2 eller et lignende svar på den anden ligning, hvilket betyder, at du forsøger at få en ligning, der kun har en variabel. Nogle gange får du bare ligningen uden variabel. Dobbelttjek dit arbejde, og sørg for, at du har lagt (omorganiseret) ligning én i ligning to, i stedet for at gå tilbage til den første ligning. Hvis du er sikker på, at du ikke har gjort noget forkert, skal du skrive et af følgende resultater:
- Hvis ligningen ikke har variabler og ikke er sand (f.eks. 3 = 5), er dette problem har intet svar. (Når dette er tegnet, er disse to ligninger parallelle og mødes aldrig.)
- Hvis ligningen ikke har variabler og Korrekt, (f.eks. 3 = 3), hvilket betyder, at spørgsmålet har ubegrænsede svar. Ligning et er nøjagtig det samme som ligning to. (Når de er tegnet, er disse to ligninger den samme linje.)
Metode 2 af 3: Brug af eliminationsmetoden
Trin 1. Find de indbyrdes eksklusive variabler
Nogle gange er ligningen i problemet allerede annullere hinanden når der lægges sammen. For eksempel, hvis du laver ligningen 3x + 2y = 11 og 5x - 2y = 13vil udtrykkene "+2y" og "-2y" annullere hinanden og fjerne variablen "y" fra ligningen. Se på ligningen i problemet, og se om der er variabler, der annullerer hinanden, som i eksemplet. Hvis ikke, fortsæt til næste trin.
Trin 2. Multiplicer ligningen med en, så en variabel fjernes
(Spring dette trin over, hvis variablerne allerede annullerer hinanden.) Hvis ligningen ikke har variabler, der annulleres på egen hånd, skal du ændre en af ligningerne, så de kan annullere hinanden. Tag et kig på følgende eksempler, så du let kan forstå dem:
- Ligningerne i problemet er 3x - y = 3 og - x + 2y = 4.
- Lad os ændre den første ligning, så variablen y annullere hinanden. (Du kan bruge variablen x. Det endelige svar, der er opnået, er det samme.)
- Variabel - y i den første ligning skal elimineres med + 2y i den anden ligning. Hvordan, gang - y med 2.
- Gang begge sider af ligningen med 2, som følger: 2 (3x - y) = 2 (3), altså 6x - 2y = 6. Nu, stamme - 2 år vil annullere hinanden med +2y i den anden ligning.
Trin 3. Kombiner de to ligninger
Tricket er at tilføje højre side af den første ligning til højre side af den anden ligning og tilføje venstre side af den første ligning til venstre side af den anden ligning. Hvis det gøres korrekt, vil en af variablerne annullere hinanden. Lad os prøve at fortsætte beregningen fra det foregående eksempel:
- Dine to ligninger er 6x - 2y = 6 og - x + 2y = 4.
- Tilføj venstre sider af de to ligninger: 6x - 2y - x + 2y =?
- Tilføj de højre sider af de to ligninger: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
Trin 4. Få den sidste variable værdi
Forenkle din sammensatte ligning, og arbejd med standardalgebra for at få værdien af den sidste variabel. Hvis ligningen efter forenkling ikke har nogen variabler, skal du fortsætte til det sidste trin i dette afsnit.
Ellers får du en værdi for en af variablerne. Som et eksempel:
- Er kendt 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
- Gruppevariabler x og y sammen: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
- Forenkle ligningen: 5x = 10
- Find x -værdien: (5x)/5 = 10/5, at opnå x = 2.
Trin 5. Find værdien af en anden variabel
Du har fundet værdien af den ene variabel, men hvad med den anden? Slut dit svar til en af ligningerne for at finde værdien af den resterende variabel. Som et eksempel:
- Er kendt x = 2, og en af ligningerne i problemet er 3x - y = 3.
- Erstat x -variablen med 2: 3 (2) - y = 3.
- Find værdien af y i ligningen: 6 - y = 3
- 6 - y + y = 3 + y, altså 6 = 3 + å
- 3 = y
Trin 6. Ved, hvad du skal gøre, når de to variabler annullerer hinanden
Nogle gange resulterer kombinationen af to ligninger i en ligning, der ikke giver mening eller ikke hjælper dig med at løse problemet. Gennemgå dit arbejde, og hvis du er sikker på, at du ikke gjorde noget forkert, skal du skrive et af følgende to svar:
- Hvis den kombinerede ligning ikke har variabler og ikke er sand (f.eks. 2 = 7), er dette problem har intet svar. Dette svar gælder for begge ligninger. (Når dette er tegnet, er disse to ligninger parallelle og mødes aldrig.)
- Hvis den kombinerede ligning ikke har variabler og Korrekt, (f.eks. 0 = 0), hvilket betyder, at spørgsmålet har ubegrænsede svar. Disse to ligninger er identiske med hinanden. (Når de er tegnet, er disse to ligninger den samme linje.)
Metode 3 af 3: Tegn en diagram over ligninger
Trin 1. Udfør kun denne metode, når du bliver instrueret
Medmindre du bruger en computer eller en grafisk lommeregner, kan denne metode kun give omtrentlige svar. Din lærer eller lærebog kan fortælle dig, at du skal bruge denne metode til at vænne dig til at tegne ligninger som linjer. Denne metode kan også bruges til at kontrollere svaret på en af metoderne ovenfor.
Hovedideen er, at du skal beskrive de to ligninger og finde deres skæringspunkt. Værdien af x og y på dette skæringspunkt er svaret på problemet
Trin 2. Find y-værdierne for begge ligninger
Kombiner ikke de to ligninger, og skift hver ligning, så formatet er "y = _x + _". Som et eksempel:
- Din første ligning er 2x + y = 5. Skifte til y = -2x + 5.
- Din første ligning er - 3x + 6y = 0. Skifte til 6y = 3x + 0, og forenkle til y = x + 0.
- Hvis dine to ligninger er nøjagtig de samme, hele linjen er "skæringspunktet" mellem de to ligninger. Skrive ubegrænsede svar som et svar.
Trin 3. Tegn koordinataksen
Tegn en lodret “y-akse” linje og en vandret “x-akse” linje på grafpapiret. Start fra det punkt, hvor de to akser skærer hinanden (0, 0), og skriv nummeretiketterne 1, 2, 3, 4 og så videre sekventielt pegende op på y-aksen og peger til højre på x-aksen. Derefter nedskrives nummeretiketterne -1, -2 og så videre sekventielt pegende ned på y -aksen og peger til venstre på x -aksen.
- Hvis du ikke har grafpapir, skal du bruge en lineal til at sikre, at afstanden mellem hvert tal er nøjagtig den samme.
- Hvis du bruger store tal eller decimaler, anbefaler vi at skalere din graf (f.eks. 10, 20, 30 eller 0, 1, 0, 2, 0, 3 i stedet for 1, 2, 3).
Trin 4. Tegn y-skæringspunktet for hver ligning
Hvis ligningen er i formen y = _x + _, kan du begynde at tegne en graf ved at lave det punkt, hvor ligningslinjen skærer med y-aksen. Værdien af y er altid den samme som det sidste tal i ligningen.
-
Fortsætter det foregående eksempel, den første linje (y = -2x + 5) skærer y-aksen ved
Trin 5.. anden linje (y = x + 0) skærer y-aksen ved 0. (Disse punkter er skrevet som (0, 5) og (0, 0) på grafen.)
- Hvis det er muligt, tegner du den første og anden linje med penne eller blyanter i forskellige farver.
Trin 5. Brug hældningen til at fortsætte linjen
I ligningsformat y = _x + _, tallet foran x angiver linjens “hældningsniveau”. Hver gang x øges med en, stiger værdien af y med antallet af hældningsniveauer. Brug disse oplysninger til at finde punkterne for hver linje på grafen, når x = 1. (Du kan også indtaste x = 1 i hver ligning og finde værdien af y.)
- Fortsætter det foregående eksempel, linjen y = -2x + 5 har en hældning på - 2. Ved punkt x = 1 bevæger linjen sig ned med 2 fra punktet x = 0. Tegn en linje, der forbinder (0, 5) med (1, 3).
- Line y = x + 0 har en hældning på ½. Ved x = 1 bevæger linjen sig ride fra punktet x = 0. Tegn en linje, der forbinder (0, 0) med (1,).
- Hvis to linjer har samme hældning, vil de to aldrig krydse hinanden. Således har dette ligningssystem ikke noget svar. Skrive intet svar som et svar.
Trin 6. Fortsæt med at forbinde linjerne, indtil de to linjer krydser hinanden
Stop arbejdet og tag et kig på din graf. hvis de to linjer har krydset hinanden, skal du fortsætte til næste trin. Hvis ikke, skal du tage en beslutning baseret på placeringen af dine to linjer:
- Hvis de to linjer nærmer sig hinanden, skal du fortsætte med at forbinde prikkerne på dine striber.
- Hvis de to linjer bevæger sig væk fra hinanden, skal du gå tilbage og forbinde prikkerne i modsatte retninger, startende med x = 1.
- Hvis de to linjer er meget langt fra hinanden, kan du prøve at springe over og forbinde punkterne længere væk, for eksempel x = 10.
Trin 7. Find svaret ved skæringspunktet
Når de to linjer krydser hinanden, er værdien af x og y på det tidspunkt svaret på dit problem. Hvis du er heldig, vil svaret være et helt tal. For eksempel i vores eksempel skærer de to linjer sig ved punktet (2, 1) så svaret er x = 2 og y = 1. I nogle ligningssystemer er det punkt, hvor linjen skærer mellem to hele tal, og hvis grafen ikke er særlig præcis, er det svært at fastslå, hvor x- og y -værdierne er i skæringspunktet. Hvis det er tilladt, kan du skrive "x er mellem 1 og 2" som svaret, eller bruge substitutions- eller eliminationsmetoden til at finde svaret.
Tips
- Du kan kontrollere dit arbejde ved at tilslutte svarene til den originale ligning. Hvis ligningen viser sig at være sand (f.eks. 3 = 3), betyder det, at dit svar er korrekt.
- Når du bruger elimineringsmetoden, skal du nogle gange gange ligningen med et negativt tal, så variablerne kan annullere hinanden.
