Hastighed defineres som et objekts hastighed i en bestemt retning. I mange situationer kan vi for at finde hastighed bruge ligningen v = s/t, hvor v er lig med hastighed, s er lig med den samlede afstand, objektet har bevæget sig fra sin oprindelige position, og t er lig med tid. Denne metode giver imidlertid kun objektets "gennemsnitlige" hastighedsværdi over dets forskydning. Ved hjælp af beregning kan du beregne et objekts hastighed på et hvilket som helst tidspunkt langs dets forskydning. Denne værdi kaldes "øjeblikkelig hastighed" og kan beregnes ved hjælp af ligningen v = (ds)/(dt), eller med andre ord, er derivatet af ligningen for objektets gennemsnitshastighed.
Trin
Metode 1 af 3: Beregning af øjeblikkelig hastighed
Trin 1. Start med ligningen for objektets forskydningshastighed
For at få værdien af et objekts øjeblikkelige hastighed skal vi først have en ligning, der beskriver dens position (i form af dens forskydning) på et givet tidspunkt. Det betyder, at ligningen skal have en variabel s (som står alene) på den ene side, og t på den anden side (men ikke nødvendigvis selvstændig), sådan her:
s = -1,5t2+10t+4
-
I ligningen er variablerne:
-
-
Deplacement = s. Det er den afstand, som objektet tilbagelægger fra dets startpunkt. For eksempel, hvis et objekt kører 10 meter frem og 7 meter tilbage, så er den samlede tilbagelagte afstand 10 - 7 = 3 meter (ikke 10 + 7 = 17 meter).
-
Tid = t. Denne variabel er selvforklarende. Normalt udtrykt i sekunder. # Tag afledningen af ligningen. Afledningen af en ligning er en anden ligning, der kan give hældningsværdien fra et bestemt punkt. For at finde afledningen af formlen til forskydning af et objekt skal du udlede funktionen ved hjælp af følgende generelle regel: Hvis y = a*x , Derivat = a*n*xn-1. Denne regel gælder for enhver komponent, der er på "t" -siden af ligningen.
Beregn øjeblikkelig hastighed Trin 2
-
-
- Med andre ord, start med at falde fra "t" -siden af ligningen fra venstre mod højre. Hver gang du når "t" -værdien, skal du trække 1 fra eksponentværdien og gange hele med den originale eksponent. Eventuelle konstanter (variabler, der ikke indeholder "t") går tabt, fordi de ganges med 0. Denne proces er ikke så vanskelig, som man måske tror, lad os udlede ligningen i ovenstående trin som et eksempel:
s = -1,5t2+10t+4
(2) -1,5 t(2-1)+ (1) 10t1 - 1 + (0) 4t0
-3t1 + 10t0
- 3t + 10
Trin 2. Udskift variablen "s" med "ds/dt
"For at vise, at din nye ligning er afledt af den tidligere ligning, skal du erstatte" s "med" ds/dt ". Teknisk betyder denne notation" derivat af s i forhold til t. "En enklere måde at forstå dette på er, at ds /dt er værdien af hældningen (hældningen) på et hvilket som helst tidspunkt i den første ligning, for eksempel for at bestemme hældningen af en linje trukket fra ligningen s = -1,5t2 + 10t + 4 ved t = 5, vi kan tilslutte værdien "5" til den afledte ligning.
- I det anvendte eksempel ville den første afledte ligning nu se sådan ud:
ds/sek = -3t + 10
Trin 3. Sæt værdien af t i den nye ligning for at få den øjeblikkelige hastighedsværdi
Nu hvor du har den afledte ligning, er det let at finde den øjeblikkelige hastighed til enhver tid. Alt du skal gøre er at vælge en værdi for t og tilslutte den til din afledte ligning. For eksempel, hvis du vil finde den momentane hastighed ved t = 5, kan du erstatte værdien af t med "5" i den afledte ligning ds/dt = -3 + 10. Løs derefter ligningen sådan:
ds/sek = -3t + 10
ds/sek = -3 (5) + 10
ds/sek = -15 + 10 = - 5 meter/sekund
Bemærk, at den ovennævnte enhed er "meter/sekund". Fordi det vi beregner er forskydning i meter og tid i sekunder (sekunder) og hastighed generelt er forskydning på en bestemt tid, er denne enhed passende at bruge
Metode 2 af 3: Grafisk estimering af øjeblikkelig hastighed
Trin 1. Tegn en graf over objektets forskydning over tid
I afsnittet ovenfor nævnes derivatet som formlen for at finde hældningen på et givet punkt for den ligning, du udleder. Faktisk, hvis du repræsenterer et objekts forskydning som en linje på en graf, "er linjens hældning på alle punkter lig med værdien af dens øjeblikkelige hastighed på det tidspunkt."
- For at beskrive forskydningen af et objekt skal du bruge x til at repræsentere tid og y til at repræsentere forskydning. Tegn derefter punkterne, og sæt værdien af t i din ligning, og få dermed værdien af s for din graf, markér t, s i grafen som (x, y).
- Bemærk, at din graf kan spænde under x-aksen. Hvis linjen, der repræsenterer bevægelsen af dit objekt når under x-aksen, betyder det, at objektet har bevæget sig baglæns fra sin oprindelige position. Generelt når din graf ikke bagsiden af y -aksen - fordi vi ikke måler hastigheden af et objekt, der bevæger sig forbi!
Trin 2. Vælg et tilstødende punkt P og Q i linjen
For at få linjens hældning på et punkt P, kan vi bruge et trick kaldet "at tage grænsen." At tage grænsen involverer to punkter (P og Q, et punkt i nærheden) på den buede linje og finde linjens hældning ved at forbinde dem mange gange, indtil afstandene P og Q kommer tættere på.
Lad os sige, at objektets forskydningslinje indeholder værdierne (1, 3) og (4, 7). I dette tilfælde, hvis vi vil finde hældningen ved punktet (1, 3), kan vi bestemme (1, 3) = P og (4, 7) = Q.
Trin 3. Find hældningen mellem P og Q
Hældningen mellem P og Q er forskellen i y-værdier for P og Q langs x-aksens værdiforskel for P og Q. Med andre ord, H = (yQ - yP)/(xQ - xP), hvor H er hældningen mellem de to punkter. I vores eksempel er værdien af hældningen mellem P og Q
H = (yQ- yP)/(xQ- xP)
H = (7 - 3)/(4 - 1)
H = (4)/(3) = 1.33
Trin 4. Gentag flere gange, og flyt Q tættere på P
Dit mål er at reducere afstanden mellem P og Q for at ligne en prik. Jo tættere afstanden mellem P og Q er, jo tættere er linjens hældning ved punkt P. Gør dette flere gange med ligningen brugt som eksempel ved hjælp af punkter (2, 4.8), (1.5, 3.95) og (1.25, 3.49) som Q og udgangspunktet (1, 3) som P:
Q = (2, 4.8):
H = (4,8 - 3)/(2 - 1)
H = (1,8)/(1) = 1.8
Q = (1,5, 3,95):
H = (3,95 - 3)/(1,5 - 1)
H = (.95)/(.5) = 1.9
Q = (1,25, 3,49):
H = (3,49 - 3)/(1,25 - 1)
H = (.49)/(.25) = 1.96
Trin 5. Estimere linjens hældning i en meget lille afstand
Når Q kommer tættere på P, kommer H tættere og tættere på værdien af punktets P. -hældning Til sidst, når den når en meget lille værdi, er H lig med P.s hældning. Da vi ikke kan måle eller beregne meget små afstande, vi kan kun estimere hældningen på P, når den er klar fra det punkt, vi forsøger.
- I eksemplet, når vi bevæger Q tættere på P, får vi værdier på 1,8, 1,9 og 1,96 for H. Da disse tal er tæt på 2, kan vi sige, at 2 er den omtrentlige hældning af P.
- Husk, at hældningen på et givet punkt på linjen er lig med derivatet af linjens ligning. Da den anvendte linje viser et objekts forskydning over tid, og fordi vi, som vi så i det foregående afsnit, er et objekts øjeblikkelige hastighed derivatet af dets forskydning på et givent punkt, kan vi også konstatere, at "2 meter/sekund "er den omtrentlige værdi af den øjeblikkelige hastighed ved t = 1.
Metode 3 af 3: Prøvespørgsmål
Trin 1. Find værdien af den øjeblikkelige hastighed ved t = 4, fra forskydningsligningen s = 5t3 - 3t2 +2t+9.
Dette problem er det samme som eksemplet i den første del, bortset fra at denne ligning er en terningligning, ikke en effektligning, så vi kan løse dette problem på samme måde.
- Først tager vi afledningen af ligningen:
- Indtast derefter værdien af t (4):
s = 5t3- 3t2+2t+9
s = (3) 5t(3 - 1) - (2) 3t(2 - 1) + (1) 2t(1 - 1) + (0) 9t0 - 1
15t(2) - 6 t(1) + 2t(0)
15t(2) - 6t + 2
s = 15t(2)- 6t + 2
15(4)(2)- 6(4) + 2
15(16) - 6(4) + 2
240 - 24 + 2 = 22 meter/sekund
Trin 2. Brug et grafisk skøn til at finde den momentane hastighed ved (1, 3) for forskydningsligningen s = 4t2 - t.
Til dette problem vil vi bruge (1, 3) som punktet P, men vi er nødt til at definere et andet punkt ved siden af dette punkt som punktet Q. Så mangler vi bare at bestemme værdien af H og lave et estimat.
- Find først værdien af Q først ved t = 2, 1,5, 1,1 og 1,01.
- Bestem derefter værdien af H:
- Da værdien af H er meget tæt på 7, kan vi konstatere det 7 meter/sekunder den omtrentlige momentane hastighed ved (1, 3).
s = 4t2- t
t = 2:
s = 4 (2)2- (2)
4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, altså Q = (2, 14)
t = 1,5:
s = 4 (1,5)2 - (1.5)
4 (2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, altså Q = (1,5, 7,5)
t = 1,1:
s = 4 (1,1)2 - (1.1)
4 (1.21) - 1.1 = 4.84 - 1.1 = 3.74, altså Q = (1,1, 3,74)
t = 1,01:
s = 4 (1,01)2 - (1.01)
4 (1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, så Q = (1.01, 3.0704)
Q = (2, 14):
H = (14 - 3)/(2 - 1)
H = (11)/(1) =
Trin 11.
Q = (1,5, 7,5):
H = (7,5 - 3)/(1,5 - 1)
H = (4,5)/(. 5) =
Trin 9.
Q = (1,1, 3,74):
H = (3,74 - 3)/(1,1 - 1)
H = (.74)/(. 1) = 7.3
Q = (1.01, 3.0704):
H = (3.0704 - 3)/(1.01 - 1)
H = (.0704)/(. 01) = 7.04
Tips
- For at finde værdien af acceleration (ændring i hastighed over tid), brug metoden i det første afsnit til at få ligningen for derivatet af forskydningsfunktionen. Opret derefter den afledte ligning igen, denne gang ud fra din afledte ligning. Dette vil give dig ligningen til at finde accelerationen på et givet tidspunkt, alt du skal gøre er at indtaste din tidsværdi.
- Ligningen vedrørende værdien af Y (forskydning) til X (tid) kan være meget enkel, for eksempel Y = 6x + 3. I dette tilfælde er hældningsværdien konstant, og det er ikke nødvendigt at finde derivatet for at beregne det, hvor Y = mx + b ifølge ligningen for en lige linje er 6.
- Forskydning ligner afstand, men har en retning, så forskydning er en vektormængde, mens afstand er en skalær mængde. Forskydningsværdien kan være negativ, men afstanden vil altid være positiv.
