Sådan forenkles komplekse brøker: 9 trin (med billeder)

2024 Forfatter: Jason Gerald | [email protected]. Sidst ændret: 2024-01-15 08:11

En kompleks brøkdel er en brøk, hvor tælleren, nævneren eller begge også indeholder en brøk. Af denne grund omtales komplekse fraktioner undertiden som "stablede fraktioner". Forenkling af komplekse brøker kan være let eller svært, afhængigt af hvor mange tal der er i tælleren og nævneren, om et af tallene er en variabel eller variabeltallets kompleksitet. Se trin 1 herunder for at komme i gang!

Trin

Metode 1 af 2: Forenkling af komplekse brøker med omvendt multiplikation

Trin 1. Forenkle tælleren og nævneren til en enkelt brøk, hvis det er nødvendigt

Komplekse brøker er ikke altid svære at løse. Faktisk er komplekse brøker, hvis tæller og nævner indeholder en enkelt brøk, normalt ret lette at løse. Så hvis tælleren eller nævneren (eller begge dele) af en kompleks brøkdel indeholder flere brøker eller brøker og et helt tal, skal du forenkle det for at få en enkelt brøk i både tælleren og nævneren. Find den mindst almindelige multipel (LCM) af to eller flere brøker.

• Lad os f.eks. Sige, at vi vil forenkle en kompleks brøk (3/5 + 2/15)/(5/7 - 3/10). Først vil vi forenkle både tælleren og nævneren af en kompleks brøk til en enkelt brøk.

  • For at forenkle tælleren skal du bruge LCM 15 opnået ved at gange 3/5 med og 3/3. Tælleren vil være 9/15 + 2/15, hvilket svarer til 11/15.
  • For at forenkle nævneren vil vi bruge LCM -resultatet på 70, som opnås ved at multiplicere 5/7 med 10/10 og 3/10 med 7/7. Nævneren vil være 50/70 - 21/70, hvilket svarer til 29/70.
  • Således er den nye komplekse fraktion (11/15)/(29/70).

Trin 2. Vend nævneren for at finde dens gensidige

Per definition er dividering af et tal med et andet det samme som at gange det første tal med det andet tals gensidige. Nu hvor vi har en kompleks brøk med en enkelt brøk i både tæller og nævner, vil vi bruge denne division til at forenkle den komplekse brøk. Find først det gensidige af fraktionen i bunden af den komplekse fraktion. Gør dette ved at "vende" brøken - sætte tælleren i stedet for nævneren og omvendt.

• I vores eksempel er brøkdelen i nævneren af den komplekse brøk (11/15)/(29/70) 29/70. For at finde det inverse "inverterer" vi det, så vi får 70/29.

  Bemærk, at hvis en kompleks brøk har et helt tal i nævneren, kan vi behandle det som en brøk og finde dets gensidige. For eksempel, hvis den komplekse brøkdel er (11/15)/(29), kan vi lave nævneren 29/1, hvilket betyder, at den gensidige er 1/29.

Trin 3. Multiplicere tælleren af den komplekse brøk med reciprokken af nævneren

Nu hvor vi har det gensidige af nævneren for den komplekse fraktion, multipliceres den med tælleren for at få en enkelt enkel brøk. Husk, at for at gange to brøker krydser vi kun multiplicere - tælleren for den nye brøk er nummeret på tælleren for de to gamle brøker samt nævneren.

I vores eksempel vil vi gange 11/15 × 70/29. 70 × 11 = 770 og 15 × 29 = 435. Så den nye simple brøk er 770/435.

Trin 4. Forenkle den nye fraktion ved at finde den største fælles faktor

Vi har allerede en simpel brøk, så alt hvad vi skal gøre er at komme med det enkleste tal. Find den største fælles faktor (GCF) for tælleren og nævneren, og del begge med dette tal for at forenkle det.

En af de fælles faktorer for 770 og 435 er 5. Så hvis vi dividerer tælleren og nævneren af brøken med 5, får vi 154/87. 154 og 87 har ingen fælles faktorer, så det er det endelige svar!

Metode 2 af 2: Forenkling af komplekse brøker, der indeholder variabel tal

Trin 1. Brug omvendt multiplikationsmetode ovenfor, hvis det er muligt

For at være klar kan næsten alle komplekse brøker forenkles ved at trække tælleren og nævneren med en enkelt brøk og multiplicere tælleren med den gensidige af nævneren. Komplekse fraktioner indeholdende variabler er også inkluderet, selvom jo mere kompleks ekspressionen af variabler i komplekse fraktioner er, desto vanskeligere og tidskrævende vil det være at bruge omvendt multiplikation. For "lette" komplekse brøker indeholdende variabler er invers multiplikation et godt valg, men komplekse brøker med flere variable tal i tælleren og nævneren kan være lettere at forenkle på den alternative måde, der er beskrevet nedenfor.

• For eksempel er (1/x)/(x/6) let at forenkle ved omvendt multiplikation. 1/x × 6/x = 6/x². Det er ikke nødvendigt at bruge alternative metoder her.
• Imidlertid er (((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))) vanskeligere at forenkle ved omvendt multiplikation. At reducere tælleren og nævneren af komplekse brøker til enkeltfraktioner, multiplicere omvendt og reducere resultatet til de enkleste tal kan være en kompliceret proces. I dette tilfælde kan den alternative metode nedenfor være lettere.

Trin 2. Hvis omvendt multiplikation ikke er praktisk, skal du starte med at finde LCM for brøknummeret i den komplekse brøk

Det første trin er at finde LCM for alle brøktalene i en kompleks brøk - både i tælleren og nævneren. Normalt, hvis et eller flere brøkdele har et tal i nævneren, er LCM tallet i nævneren.

Dette er lettere at forstå med et eksempel. Lad os prøve at forenkle de komplekse fraktioner, der er nævnt ovenfor, (((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))). Brøktalene i denne komplekse brøk er (1)/(x+3) og (1)/(x-5). LCM for de to brøker er tallet i nævneren: (x+3) (x-5).

Trin 3. Multiplicer tælleren af den komplekse fraktion med den nyligt fundne LCM

Dernæst skal vi gange antallet i den komplekse brøk med LCM for brøknummeret. Med andre ord vil vi gange alle komplekse brøker med (KPK)/(KPK). Vi kan gøre dette uafhængigt, fordi (KPK)/(KPK) er lig med 1. Multiplicer først tællerne selv.

• I vores eksempel vil vi gange den komplekse brøk, (((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))), dvs. ((x+ 3) (x-5))/((x+ 3) (x-5)). Vi er nødt til at gange med tælleren og nævneren for den komplekse brøk, multiplicere hvert tal med (x + 3) (x-5).

  • Lad os først gange tællerne: (((1)/(x+3))+x - 10) × (x+3) (x -5)

    • = (((x+3) (x-5)/(x+3))+x ((x+3) (x-5))-10 ((x+3) (x-5))
    • = (x-5) + (x (x.)² - 2x - 15)) - (10 (x² - 2x - 15))
    • = (x-5) + (x³ - 2x² - 15x) - (10x² - 20x - 150)
    • = (x-5) + x³ - 12x² + 5x + 150
    • = x³ - 12x² +6x +145

Trin 4. Multiplicer nævneren af den komplekse brøk med LCM, som du ville med tælleren

Fortsæt med at multiplicere den komplekse fraktion med LCM fundet ved at gå til nævneren. Gang alle, gang hvert tal med LCM.

• Nævneren for vores komplekse fraktion, (((1)/(x +3)) +x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))) er x +4 +((1) // (x-5)). Vi vil gange det med LCM fundet, (x+3) (x-5).

  • (x +4 +((1)/(x - 5))) × (x +3) (x -5)
  • = x ((x+3) (x-5))+4 ((x+3) (x-5))+(1/(x-5)) (x+3) (x-5).
  • = x (x² - 2x - 15) + 4 (x² - 2x- 15) + ((x + 3) (x-5))/(x-5)
  • = x³ - 2x² - 15x + 4x² - 8x - 60 + (x + 3)
  • = x³ + 2x² - 23x - 60 + (x + 3)
  • = x³ + 2x² - 22x - 57

Trin 5. Opret en ny og forenklet brøkdel fra den nyligt fundne tæller og nævner

Efter at have multipliceret brøken med (KPK)/(KPK) og forenklet ved at kombinere tallene, er resultatet en simpel brøk, der ikke indeholder et brøknummer. Bemærk, at ved at multiplicere med LCM for brøknummeret i den oprindelige komplekse brøk, vil nævneren for denne brøkdel blive opbrugt og efterlade det variable tal og hele tal i svarets tæller og nævner, uden nogen brøker.

Med tælleren og nævneren fundet ovenfor kan vi konstruere en brøk, der er den samme som den oprindelige komplekse brøk, men ikke indeholder brøknummeret. Tælleren, der blev opnået, er x³ - 12x² + 6x + 145 og nævneren vi fik var x³ + 2x² - 22x - 57, så den nye fraktion bliver (x³ - 12x² + 6x + 145)/(x³ + 2x² - 22x - 57)

Tips

• Vis hvert trin i jobbet. Brøker kan være forvirrende, hvis trinene tæller for hurtigt eller prøver at gøre det udenad.
• Find eksempler på komplekse brøker på internettet eller i bøger. Følg hvert trin, indtil det kan mestres.