Sådan forenkles matematiske ligninger: 13 trin

2024 Forfatter: Jason Gerald | [email protected]. Sidst ændret: 2024-01-15 08:11

Matematikstuderende bliver ofte bedt om at skrive deres svar ned i deres enkleste form - med andre ord at skrive svarene ned så elegant som muligt. Selvom lange, stive og korte såvel som elegante ligninger teknisk set er det samme, betragtes et matematisk problem ofte ikke som fuldstændigt, hvis det endelige svar ikke reduceres til sin enkleste form. Svaret i sin enkleste form er også næsten altid den letteste ligning at arbejde med. Af denne grund er det vigtigt at lære at forenkle ligninger for matematikere.

Trin

Metode 1 af 2: Brug af operationssekvens

Trin 1. Kend rækkefølgen af operationer

Når man forenkler matematiske udtryk, kan man ikke bare arbejde fra venstre mod højre, multiplicere, tilføje, trække fra og så videre i rækkefølge fra venstre mod højre. Nogle matematiske operationer skal have forrang frem for andre og skal udføres først. Faktisk kan brug af den forkerte rækkefølge af operationer give det forkerte svar. Operationsrækkefølgen er: delen i parentes, eksponenten, multiplikationen, divisionen, additionen og til sidst subtraktionen. Et akronym, du kan bruge til at huske, er fordi mor ikke er god, ond og dårlig.

Bemærk, at mens en grundlæggende viden om rækkefølgen af operationer kan forenkle de mest grundlæggende ligninger, kræves der særlige teknikker for at forenkle mange variable ligninger, herunder næsten alle polynomier. Se den følgende anden metode for mere information

Trin 2. Start med at udfylde alle sektionerne i parentes

I matematik angiver parenteser, at den indre del skal beregnes adskilt fra det udtryk, der er uden for parenteserne. Uanset hvilke operationer der er inden for parenteserne, skal du først fuldføre delen inden i parenteserne, når du forsøger at forenkle en ligning. For eksempel i parentes skal du gange før addition, subtraktion og så videre.

Lad os f.eks. Prøve at forenkle ligningen 2x + 4 (5 + 2) + 3² - (3 + 4/2). I denne ligning skal vi først løse delen inden i parenteserne, nemlig 5 + 2 og 3 + 4/2. 5 + 2 =

Trin 7.. 3 + 4/2 = 3 + 2

Trin 5

Delen i det andet beslag er forenklet til 5, fordi vi ifølge operationsrækkefølgen deler 4/2 først i parenteserne. Hvis vi bare arbejder fra venstre mod højre, tilføjer vi først 3 og 4, dividerer derefter med 2 og giver det forkerte svar 7/2
Bemærk - hvis der er flere parenteser i parenteser, udfyld afsnittet i den inderste parentes, derefter den anden inderste osv.

Trin 3. Løs eksponenten

Når du har fuldført parenteserne, skal du derefter løse eksponenten for din ligning. Dette er let at huske, fordi i eksponenter er basisnummeret og strømmen til magten ved siden af hinanden. Find svaret på hver del af eksponenten, og sæt derefter dit svar i ligningen for at erstatte eksponentdelen.

Efter at have afsluttet delen i parentes, bliver vores eksempelligning nu 2x + 4 (7) + 3² - 5. Den eneste eksponentielle i vores eksempel er 3², der er lig med 9. Føj dette resultat til din ligning for at erstatte 3² hvilket resulterer i 2x + 4 (7) + 9 - 5.

Trin 4. Løs multiplikationsproblemet i din ligning

Gør derefter den multiplikation, der er nødvendig i din ligning. Husk, at multiplikation kan skrives på flere måder. × prikken eller stjernetegnet er en måde at vise multiplikation på. Et tal ved siden af parenteser eller en variabel (f.eks. 4 (x)) repræsenterer imidlertid også en multiplikation.

Der er to dele til multiplikation i vores problem: 2x (2x er 2 × x) og 4 (7). Vi kender ikke værdien af x, så vi lader den ligge ved 2x. 4 (7) = 4 × 7 =

Trin 28.. Vi kan omskrive vores ligning til at være 2x + 28 + 9 - 5.

Trin 5. Fortsæt til division

Når du leder efter divisionsproblemer i dine ligninger, skal du huske på, at division, ligesom multiplikation, kan skrives på en række måder. En af disse er symbolet, men husk på, at skråstreger og streger som f.eks. I brøker (f.eks. 3/4) også angiver division.

Fordi vi allerede har foretaget opdelingen (4/2), da vi færdiggjorde delene i parentes. Vores eksempel har ikke allerede et delingsproblem, så vi springer dette trin over. Dette viser et vigtigt punkt - du behøver ikke at udføre alle operationerne, når du forenkler et udtryk, kun handlingerne i dit problem

Trin 6. Tilføj derefter det, der er i din ligning

Du kan arbejde fra venstre mod højre, men det er lettere at tilføje de let tilføjelige tal først. For eksempel i problemet 49 + 29 + 51 + 71 er det lettere at tilføje 49 + 51 = 100, 29 + 71 = 100 og 100 + 100 = 200 end 49 + 29 = 78, 78 + 51 = 129 og 129 + 71 = 200.

Vores eksempelligning er delvist forenklet til 2x + 28 + 9 - 5. Nu skal vi tilføje de tal, vi kan tilføje - lad os se på hvert tilføjelsesproblem fra venstre mod højre. Vi kan ikke tilføje 2x og 28, fordi vi ikke kender værdien af x, så vi springer det bare over. 28 + 9 = 37, kan omskrives som 2x + 37 - 5.

Trin 7. Det sidste trin i sekvensen af operationer er subtraktion

Fortsæt dit problem ved at løse de resterende subtraktionsproblemer. Du kan muligvis tænke på subtraktion som tilføjelse af negative tal i dette trin eller ved at bruge de samme trin som for et almindeligt tilføjelsesproblem - dit valg påvirker ikke dit svar.

I vores problem, 2x + 37 - 5, er der kun et subtraktionsproblem. 37 - 5 =

Trin 32.

Trin 8. Kontroller din ligning

Efter at have løst ved hjælp af rækkefølgen af operationer, skal din ligning forenkles til sin enkleste form. Men hvis din ligning indeholder en eller flere variabler, skal du forstå, at dine variabler ikke skal bearbejdes. For at forenkle en variabel skal du enten finde værdien af din variabel eller bruge specielle teknikker til at forenkle udtrykket (se trin nedenfor).

Vores sidste svar er 2x + 32. Vi kan ikke løse denne sidste tilføjelse, medmindre vi kender værdien af x, men hvis vi kendte dens værdi, ville denne ligning være meget lettere at løse end vores lange originale ligning

Metode 2 af 2: Forenkling af komplekse ligninger

Trin 1. Tilføj de dele, der har den samme variabel

Når du løser variable ligninger, skal du huske, at dele, der har den samme variabel og eksponent (eller den samme variabel), kan tilføjes og trækkes fra som normale tal. Denne del skal have den samme variabel og eksponent. For eksempel kan 7x og 5x tilføjes, men 7x og 5x² kan ikke lægges sammen.

Denne regel gælder også for nogle variabler. For eksempel 2xy² kan summeres med -3xy², men kan ikke summeres med -3x²y eller -3y².
Se ligning x² + 3x + 6 - 8x. I denne ligning kan vi tilføje 3x og -8x, fordi de har den samme variabel og eksponent. Den simple ligning bliver til x² - 5x + 6.

Trin 2. Forenkle brøkdele ved at dividere eller krydse faktorerne

Brøker, der kun har tal (og ingen variabler) i tælleren og nævneren kan forenkles på flere måder. Den første, og måske den letteste, er at tænke på brøken som et delingsproblem og dividere nævneren med tælleren. Enhver multiplikationsfaktor, der vises i tælleren og nævneren, kan også overstreges, fordi dividering af de to faktorer resulterer i tallet 1.

Se for eksempel på brøkdelen 36/60. Hvis vi har en lommeregner, kan vi dele den for at få svaret 0, 6. Men hvis vi ikke har en lommeregner, kan vi stadig forenkle den ved at krydse de samme faktorer ud. En anden måde at forestille sig 36/60 på er (6 × 6)/(6 × 10). Denne brøk kan skrives som 6/6 × 6/10. 6/6 = 1, så vores brøkdel er faktisk 1 × 6/10 = 6/10. Vi er dog ikke færdige endnu - både 6 og 10 har samme faktor, som er 2. Gentagelse af ovenstående metode, resultatet bliver 3/5.

Trin 3. Streg alle variabelfaktorer på variabelfraktionen

Variable ligninger i brøkform har en unik måde at forenkle. Ligesom almindelige brøker giver variable brøker dig mulighed for at eliminere faktorer, som både tæller og nævner har tilfælles. I variable brøker kan disse faktorer imidlertid være tal og ligninger for den faktiske variabel.

Lad os sige ligningen (3x² + 3x)/(-3x² + 15x). Denne brøk kan skrives som (x + 1) (3x)/(3x) (5 - x), 3x vises i både tæller og nævner. Ved at krydse disse faktorer ud af ligningen bliver resultatet (x + 1)/(5 - x). Det samme som i udtrykket (2x² + 4x + 6)/2, da hver del er delelig med 2, kan vi skrive ligningen som (2 (x² + 2x + 3))/2 og derefter forenkles til x² + 2x + 3.
Bemærk, at du ikke kan overstrege alle sektioner - du kan kun stryge de multiplikationsfaktorer, der vises i tælleren og nævneren. For eksempel kan x i udtrykket (x (x + 2))/x krydses ud af både tæller og nævner, så det bliver (x + 2)/1 = (x + 2). (X + 2)/x kan dog ikke overstreges til 2/1 = 2.

Trin 4. Gang delen i parentes med konstanten

Når man multiplicerer den del, der har variablen i parentes med en konstant, kan det nogle gange resultere i en enklere ligning at multiplicere hver del i parenteserne med en konstant. Dette gælder for konstanter, der kun består af tal og konstanter, der har variabler.

For eksempel ligning 3 (x² + 8) kan forenkles til 3x² + 24, hvorimod 3x (x² + 8) kan forenkles til 3x³ + 24x.
Bemærk, at i nogle tilfælde, f.eks. Variable fraktioner, kan konstanter omkring parenteserne overstreges, så de ikke behøver at multipliceres med delen i parenteserne. I brøker (3 (x² + 8))/3x, for eksempel vises faktoren 3 i både tæller og nævner, så vi kan krydse det over og forenkle udtrykket til (x² + 8)/x. Dette udtryk er enklere og lettere at arbejde med end (3x³ + 24x)/3x, hvilket er det resultat, vi får, hvis vi gange det.

Trin 5. Forenkle ved factoring

Factoring er en teknik, der kan bruges til at forenkle nogle variable udtryk, herunder polynomier. Tænk på factoring som det modsatte af at gange med delen i parentes i ovenstående trin - nogle gange kan et udtryk tænkes som to dele, der multipliceres med hinanden, snarere end et enhedsudtryk. Dette gælder især, hvis factoring af en ligning giver dig mulighed for at krydse en af dens dele (som i brøker). I visse tilfælde (ofte med kvadratiske ligninger) kan factoring endda tillade dig at finde løsningen på ligningen.

Lad os igen antage udtrykket x² - 5x + 6. Dette udtryk kan regnes med (x - 3) (x - 2). Så hvis x² - 5x + 6 er tælleren for en given ligning, hvor nævneren har en af disse faktorer, som i udtrykket (x² - 5x + 6)/(2 (x - 2)), vil vi måske skrive det i faktorform, så vi kan overskride faktoren med nævneren. Med andre ord, i (x - 3) (x - 2)/(2 (x - 2)) kan delen (x - 2) overstreges til at være (x - 3)/2.
Som påpeget ovenfor er en anden grund til, at du måske vil faktorisere dine ligninger, at factoring kan give dig svar på bestemte ligninger, især hvis de er skrevet som lig 0. F.eks. Ligning x² - 5x + 6 = 0. Factoring giver (x - 3) (x - 2) = 0. Da ethvert tal ganget med nul er lig med nul, ved vi, at hvis en del af parentesen er lig med nul, er hele ligningen til venstre for lighedstegnet er også nul. Så det

Trin 3. da

Trin 2. er de to svar på ligningen.