Sådan tegnes en firkantet graf: 10 trin (med billeder)

2024 Forfatter: Jason Gerald | [email protected]. Sidst ændret: 2024-02-01 14:12

Når den er repræsenteret grafisk, har den kvadratiske ligning formen økse² + bx + c eller a (x - h)² + k danne bogstavet U eller en omvendt U -kurve kaldet en parabel. Tegning af en kvadratisk ligning leder efter toppunktet, retningen og ofte krydset x og y. I tilfælde af ret simple kvadratiske ligninger kan det være tilstrækkeligt at indtaste et sæt x -værdier og tegne kurven baseret på de resulterende punkter. Se trin 1 herunder for at komme i gang.

Trin

Trin 1. Bestem formen for den kvadratiske ligning, du har

Kvadratiske ligninger kan skrives i tre forskellige former: generel form, toppunktsform og kvadratisk form. Du kan bruge en hvilken som helst form til at tegne en kvadratisk ligning; processen med at skildre hver graf er lidt anderledes. Hvis du laver lektier, modtager du normalt spørgsmål i en af disse to former - med andre ord kan du ikke vælge, så det er bedst at forstå begge dele. De to former for den kvadratiske ligning er:

• Generel form.

  I denne form er den kvadratiske ligning skrevet som: f (x) = ax² + bx + c hvor a, b og c er reelle tal og a ikke er nul.

  For eksempel er to kvadratiske ligninger af generel form f (x) = x² + 2x + 1 og f (x) = 9x² + 10x -8.

• Spidsform.

  I denne form er den kvadratiske ligning skrevet som: f (x) = a (x - h)² + k hvor a, h og k er reelle tal og a ikke er nul. Det kaldes toppunktformen, fordi h og k straks vil give toppunktet (midtpunktet) på din parabel ved punktet (h, k).

  De to vertex -formligninger er f (x) = 9 (x - 4)² + 18 og -3 (x - 5)² + 1

• For at tegne en form for ligning skal vi først finde parabelens toppunkt, som er midtpunktet (h, k) for enden af kurven. Koordinaterne for toppe i den generelle form beregnes som: h = -b/2a og k = f (h), mens i spidsformen er h og k i ligningen.

Trin 2. Definer dine variabler

For at løse et kvadratisk problem skal variablerne a, b og c (eller a, h og k) normalt defineres. Et almindeligt algebra -problem vil give en kvadratisk ligning med de tilgængelige variabler, normalt i generel form, men nogle gange i topform.

• For eksempel for en ligning med generel form f (x) = 2x² + 16x + 39, vi har a = 2, b = 16 og c = 39.
• For topformligningen f (x) = 4 (x - 5)² + 12, vi har a = 4, h = 5 og k = 12.

Trin 3. Beregn h

I toppunktsformligningen er din h -værdi allerede angivet, men i den generelle formligning skal h -værdien beregnes. Husk, at for ligninger af generel form, h = -b/2a.

• I vores generelle formeksempel (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b/2a = -16/2 (2). Efter løsning finder vi, at h = - 4.
• I vores vertex -eksempeleksempel (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), ved vi, at h = 5 uden at lave matematik.

Trin 4. Beregn k

Ligesom h kendes allerede k i ligning af topformen. For ligninger af generel form, husk at k = f (h). Med andre ord kan du finde k ved at erstatte alle x -værdierne i din ligning med de h -værdier, du lige har fundet.

• Vi har allerede i vores generelle formeksempel bestemt, at h = -4. For at finde k løser vi vores ligning ved at tilslutte vores værdi af h i stedet for x:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    Trin 7.

• I vores topformeksempel kender vi igen værdien af k (hvilket er 12) uden at skulle lave matematik.

Trin 5. Tegn din top

Toppen af din parabel er punktet (h, k)-h repræsenterer x-koordinaten, mens k repræsenterer y-koordinaten. Toppunktet er midtpunktet på din parabel - enten i bunden af U eller øverst på det omvendte U. At kende hjørnerne er en vigtig del af at tegne en præcis parabel - ofte i skolearbejde er det at bestemme toppunktet den del, man skal kigge efter i et spørgsmål.

• I vores generelle formeksempel er vores højdepunkt (-4, 7). Således kulminerer vores parabel 4 trin til venstre fra 0 og 7 trin ovenfor (0, 0). Vi skal skildre dette punkt i vores graf og sørge for at markere koordinaterne.
• I vores vertex -eksempeleksempel er vores toppunkt (5, 12). Vi skal tegne et punkt 5 trin til højre og 12 trin ovenfor (0, 0).

Trin 6. Tegn parabelens akse (valgfrit)

Symmetriaksen for en parabel er en linje, der passerer gennem dens centrum og deler den nøjagtigt i midten. På denne akse vil venstre side af parabolen afspejle højre side. For kvadratiske ligninger i formen ax² + bx + c eller a (x - h)² + k, symmetriaksen er den linje, der er parallel med y-aksen (med andre ord nøjagtigt lodret) og passerer gennem toppunktet.

I tilfælde af vores generelle formeksempel er aksen linjen parallelt med y-aksen og passerer gennem punktet (-4, 7). Selvom det ikke er en del af parabolen, vil tyndt markere denne linje på din graf i sidste ende hjælpe dig med at se den symmetriske form af parabelens kurve

Trin 7. Find retningen for åbningen af parabolen

Efter at have kendt parabolens top og akse, skal vi derefter vide, om parabolen åbner op eller ned. Heldigvis er det let. Hvis værdien af a er positiv, åbnes parabolen opad, hvorimod hvis værdien af a er negativ, åbnes parabolen nedad (dvs. parabolen vil blive omvendt).

• For vores generelle formeksempel (f (x) = 2x² + 16x + 39), ved vi, at vi har en parabel, der åbner sig, fordi i vores ligning a = 2 (positiv).
• For vores vertex -eksempeleksempel (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), ved vi, at vi også har en parabel, der åbner op, fordi a = 4 (positiv).

Trin 8. Find og tegn x-skæringen om nødvendigt

I skolearbejde bliver du ofte bedt om at finde x-aflytningen i parabolen (hvilket er et eller to punkter, hvor parabolen møder x-aksen). Selvom du ikke finder en, er disse to punkter meget vigtige for at tegne en præcis parabel. Imidlertid har ikke alle paraboler en x-skæring. Hvis din parabel har et toppunkt, der åbner sig, og dets toppunkt er over x-aksen, eller hvis det åbner nedad, og dets toppunkt er under x-aksen, parablen vil ikke have nogen x-aflytning. Ellers kan du løse dit x-aflytning på en af følgende måder:

• Bare lav f (x) = 0 og løse ligningen. Denne metode kan bruges til simple kvadratiske ligninger, især i topform, men vil være meget vanskelig for komplekse ligninger. Se et eksempel nedenfor

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • Rod (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 og 13 er x-afsnittet i parabolen.

• Faktor din ligning. Nogle ligninger i formen ax² + bx + c kan let indregnes i formen (dx + e) (fx + g), hvor dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx, og e × g = c. I dette tilfælde er dine x-aflytninger x-værdier, der vil gøre ethvert udtryk i parentes = 0. For eksempel:

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • I dette tilfælde er din eneste x -skæring -1, fordi at gøre x lig med -1 vil gøre enhver faktorbetegnelse i parentes til 0.

• Brug den kvadratiske formel. Hvis du ikke let kan løse din x-skæring eller faktor din ligning, skal du bruge en særlig ligning kaldet en kvadratisk formel, der blev oprettet til dette formål. Hvis det ikke er løst endnu, skal du konvertere din ligning til formaksen² + bx + c, indtast derefter a, b og c i formlen x = (-b +/- sqrt (b)² - 4ac))/2a. Bemærk, at denne metode ofte giver dig to svar på værdien af x, hvilket er OK-det betyder bare, at din parabel har to x-aflytninger. Se et eksempel nedenfor:

  • -5x² + 1x + 10 sættes i kvadratisk formel således:
  • x = (-1 +/- Root (1.)² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- Root (1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- Root (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14, 18)/-10
  • x = (13, 18/-10) og (-15, 18/-10). X-afsnittet i parabolen er x = - 1, 318 og 1, 518
  • Vores tidligere eksempel på den generelle form, 2x² +16x+39 sættes i den kvadratiske formel som følger:
  • x = (-16 +/- Root (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- Root (256- 312))/4
  • x = (-16 +/- Root (-56)/-10
  • Da det er umuligt at finde kvadratroden af et negativt tal, ved vi, at denne parabel har ingen x-aflytning.

Trin 9. Find og tegn y-skæringen om nødvendigt

Selvom det ofte ikke er nødvendigt at lede efter y-aflytningen i ligninger (det punkt, hvor parabolen passerer gennem y-aksen), skal du muligvis til sidst finde det, især hvis du er i skole. Processen er ret simpel-lav bare x = 0, og løs derefter din ligning for f (x) eller y, hvilket giver værdien af y, hvor din parabel passerer gennem y-aksen. I modsætning til x-aflytningen kan en almindelig parabel kun have en y-skæring. Bemærk-for ligninger af generel form er y-afsnittet y = c.

• For eksempel ved vi, at vores kvadratiske ligning er 2x² + 16x + 39 har et y-skæringspunkt ved y = 39, men det kan også findes på følgende måde:

  • f (x) = 2x² +16x+39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. Parabelens y-afsnit er ved y = 39.

    Som bemærket ovenfor er y-skæringen ved y = c.

• Formen på vores toppunktsligning er 4 (x - 5)² + 12 har et y-skæringspunkt, som kan findes på følgende måde:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. Parabelens y-afsnit er ved y = 112.

Trin 10. Tegn om nødvendigt yderligere punkter, og tegn derefter en graf

Nu har du toppunktet, retningen, x-aflytningen og muligvis y-skæringen i din ligning. På dette tidspunkt kan du prøve at tegne din parabel ved hjælp af de punkter, du har som vejledning, eller kigge efter andre punkter til at udfylde din parabel, så den kurve, du tegner, er mere præcis. Den nemmeste måde at gøre dette på er ved blot at indtaste nogle x-værdier i enhver side af dit toppunkt og derefter plotte disse punkter ved hjælp af de y-værdier, du får. Ofte beder lærere dig om at kigge efter flere punkter, før du tegner din parabel.

• Lad os gennemgå ligningen x² + 2x + 1. Vi ved allerede, at x -interceptet kun er x = -1. Da kurven kun berører x-aflytningen på et tidspunkt, kan vi konkludere, at toppunktet er dets x-afsnit, hvilket betyder, at toppunktet er (-1, 0). Vi har faktisk kun et point til denne parabel - ikke nok til at tegne en god parabel. Lad os kigge efter nogle andre punkter for at sikre, at vi tegner en grundig graf.

  • Lad os finde y -værdierne for følgende x -værdier: 0, 1, -2 og -3.
  • For 0: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Vores pointe er (0, 1).

  • For 1: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Vores pointe er (1, 4).

  • For -2: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Vores pointe er (-2, 1).

  • For -3: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Vores pointe er (-3, 4).

  • Tegn disse punkter på grafen og tegn din U-formede kurve. Bemærk, at parabolen er perfekt symmetrisk - når dine punkter på den ene side af parabolen er heltal, kan du normalt reducere arbejdet med blot at reflektere et givet punkt på parabelens symmetriakse for at finde det samme punkt på den anden side af parabolen.

Tips

• Rund tal eller brug brøker i henhold til din algebra -lærers anmodning. Dette vil hjælpe dig med bedre at tegne den kvadratiske ligning.
• Bemærk, at i f (x) = ax² + bx + c, hvis b eller c er lig med nul, forsvinder disse tal. For eksempel 12x² + 0x + 6 bliver 12x² + 6 fordi 0x er 0.