To brøker er ækvivalente, hvis de har samme værdi. At vide, hvordan man konverterer brøker til deres ækvivalente former, er en ekstremt vigtig matematikfærdighed, der kræves for alle former for matematik fra grundlæggende algebra til avanceret beregning. Denne artikel vil give flere måder at beregne ækvivalente brøker fra grundlæggende multiplikation og division til mere komplekse måder at løse ækvivalente brøkligninger på.
Trin
Metode 1 af 5: Arrangering af ækvivalente brøker
Trin 1. Multiplicer tælleren og nævneren med det samme tal
To forskellige, men ækvivalente brøker har pr. Definition en tæller og nævner, der er multipla af hinanden. Med andre ord vil multiplikation af tæller og nævner af en brøk med det samme tal producere ækvivalente brøker. Selvom tallene i den nye brøkdel vil være forskellige, vil brøkerne have den samme værdi.
- For eksempel, hvis vi tager brøkdelen 4/8 og gange tælleren og nævneren med 2, får vi (4 × 2)/(8 × 2) = 8/16. Disse to fraktioner er ækvivalente.
- (4 × 2)/(8 × 2) er faktisk det samme som 4/8 × 2/2. Husk, at når vi multiplicerer to brøker, multiplicerer vi lige, hvilket betyder tælleren med tælleren og nævneren med nævneren.
- Bemærk, at 2/2 er lig med 1, hvis du foretager inddelingen. Således er det lettere at forstå, hvorfor 4/8 og 8/16 er ækvivalente, fordi multiplicering af 4/8 × (2/2) = forbliver 4/8. På samme måde er det det samme som at sige 4/8 = 8/16.
- Enhver given fraktion har et uendeligt antal ækvivalente brøker. Du kan gange både tælleren og nævneren med et hvilket som helst heltal, uanset størrelse eller lille, for at få en ækvivalent brøk.
Trin 2. Divider tælleren og nævneren med det samme tal
Ligesom multiplikation kan division også bruges til at finde en ny brøk, der svarer til din oprindelige brøk. Bare del tælleren og nævneren af en brøk med det samme tal for at få den ækvivalente brøk. Der er en ulempe ved denne proces - den sidste brøkdel skal have heltal i både tælleren og nævneren for at være sand.
Lad os f.eks. Se tilbage på 4/8. Hvis vi i stedet for at multiplicere både tæller og nævner med 2, får vi (4 2)/(8 2) = 2/4. 2 og 4 er heltal, så disse ækvivalente brøker er sande
Metode 2 af 5: Brug af grundlæggende multiplikation til at bestemme ligestilling
Trin 1. Find det tal, der skal ganges med den mindre nævner for at få den større nævner
Mange problemer med fraktioner involverer bestemmelse af, om to fraktioner er ækvivalente. Ved at beregne dette tal kan du begynde at sidestille brøkdele for at bestemme lighed.
- Brug f.eks. Brøkerne 4/8 og 8/16. Den mindre nævner er 8, og vi er nødt til at gange tallet med 2 for at få den større nævner, som er 16. Så tallet i dette tilfælde er 2.
- For vanskeligere tal kan du dividere den større nævner med den mindre nævner. I dette tilfælde er 16 divideret med 8, hvilket stadig giver 2.
- Tallet er ikke altid et helt tal. For eksempel, hvis nævnerne er 2 og 7, så er tallet 3, 5.
Trin 2. Multiplicer tælleren og nævneren for den brøkdel, der har det mindre udtryk med tallet fra det første trin
To forskellige, men ækvivalente brøker har pr. Definition tæller og nævner, der er multipler af hinanden. Med andre ord vil multiplikation af tæller og nævner af en brøk med det samme tal frembringe en ækvivalent brøk. Selvom tallene i denne nye brøkdel vil være forskellige, vil disse brøker have den samme værdi.
For eksempel, hvis vi bruger brøken 4/8 fra trin et og multiplicerer tælleren og nævneren med det tal, vi definerede tidligere, som er 2, får vi (4 × 2)/(8 × 2) = 8/16. Dette resultat viser, at disse to fraktioner er ækvivalente.
Metode 3 af 5: Brug af Basic Division til at bestemme ligestilling
Trin 1. Tæl hver brøk som et decimaltal
For simple brøker uden variabler kan du repræsentere hver brøk som et decimaltal for at bestemme lighed. Da hver brøkdel faktisk er et delingsproblem, er dette den enkleste måde at bestemme lighed på.
- Brug f.eks. Den brøkdel, vi brugte tidligere, 4/8. Brøken 4/8 svarer til at sige 4 divideret med 8, hvilket er 4/8 = 0,5. Du kan også løse det andet eksempel, som er 8/16 = 0,5. Uanset vilkårene i en brøk, er brøken ækvivalent hvis begge tal er ens, når de er repræsenteret i decimaler.
- Husk, at decimaludtryk kan have flere cifre, før ligheden er indlysende. Som et grundlæggende eksempel gentages 1/3 = 0,333, mens 3/10 = 0,3. Ved brug af mere end et ciffer ser vi, at disse to brøker ikke er ækvivalente.
Trin 2. Divider tæller og nævner for en brøk med det samme tal for at få en ækvivalent brøk
For mere komplekse brøker kræver opdelingsmetoden yderligere trin. Mens du med multiplikation kan dividere tælleren og nævneren af en brøk med det samme tal for at få en ækvivalent brøk. Der er en ulempe ved denne proces. Den sidste brøkdel skal have heltal i både tæller og nævner for at være sand.
Lad os f.eks. Se tilbage på 4/8. Hvis vi i stedet for at gange dividerer tælleren og nævneren med 2, får vi (4 2)/(8 2) = 2/4. 2 og 4 er heltal, så disse ækvivalente brøker er sande.
Trin 3. Forenkle brøkerne til deres enkleste vilkår
De fleste brøker skrives normalt i deres enkleste termer, og du kan konvertere brøker til deres enkleste form ved at dividere med den største fælles faktor (GCF). Dette trin udføres i samme logik som at skrive ækvivalente brøker og konvertere dem til den samme nævner, men denne metode forsøger at forenkle hver brøkdel til dens mindst mulige termer.
- Når en brøkdel er i sin enkleste form, har tælleren og nævneren de mindst mulige værdier. Begge kan ikke divideres med et helt tal for at få den mindre værdi. For at konvertere en brøkdel, der ikke er i sin enkleste form, til sin enkleste ækvivalente form, deler vi tælleren og nævneren med deres største fælles faktor.
-
Tæller og nævner er den største fælles faktor (GCF), der er det største tal, der deler dem for at give et heltal resultat. Så i vores 4/8 eksempel, fordi
Trin 4. er det største tal, der kan deles med 4 og 8, vil vi dividere tælleren og nævneren for vores brøk med 4 for at få de enkleste udtryk. (4 4)/(8 4) = 1/2. For vores andet eksempel, 8/16, er GCF 8, som også returnerer værdien 1/2 som det enkleste udtryk for en brøk.
Metode 4 af 5: Brug af tværprodukter til at finde variabler
Trin 1. Arranger de to fraktioner, så de er lig med hinanden
Vi bruger krydsmultiplikation til matematiske problemer, hvor vi ved, at brøkerne er ækvivalente, men et af tallene er blevet erstattet af en variabel (normalt x), som vi skal løse. I tilfælde som dette ved vi, at disse brøker er ækvivalente, fordi de er de eneste udtryk på den anden side af lighedstegnet, men ofte er måden at finde variablen ikke indlysende. Heldigvis er det let at løse disse typer problemer med krydsmultiplikation.
Trin 2. Tag to ækvivalente fraktioner og gang dem med en "X" form
Med andre ord multiplicerer du tælleren for en brøk med nævneren for en anden brøk og omvendt, så arrangerer de to svar, så de matcher hinanden og løser.
Tag vores to eksempler, 4/8 og 8/16. Ingen af dem har en variabel, men vi kan bevise konceptet, fordi vi allerede ved, at de er ækvivalente. Ved krydsmultiplikation får vi 4/16 = 8 x 8 eller 64 = 64, hvilket er sandt. Hvis disse to tal ikke er ens, så er brøkerne ikke ækvivalente
Trin 3. Tilføj variabler
Da krydsmultiplikation er den nemmeste måde at bestemme ækvivalente brøker på, når du skal finde variabler, lad os tilføje variabler.
-
Lad os f.eks. Bruge ligningen 2/x = 10/13. For at krydse gange multiplicerer vi 2 med 13 og 10 med x, og sætter derefter vores svar til hinanden:
- 2 × 13 = 26
- 10 × x = 10x
- 10x = 26. Herfra er svaret på vores variabel et simpelt algebra -problem. x = 26/10 = 2, 6, hvilket gør den første ækvivalente fraktion 2/2, 6 = 10/13.
Trin 4. Brug krydsmultiplikation til flervariabel fraktioner eller variable udtryk
En af de bedste ting ved krydsmultiplikation er, at det faktisk fungerer på samme måde, uanset om du arbejder med to enkle brøker (som ovenfor) eller mere komplekse brøker. For eksempel, hvis begge fraktioner har variabler, behøver du kun at fjerne disse variabler i løsningsprocessen. På samme måde, hvis din brøk tæller eller nævner har et variabelt udtryk (som x + 1), skal du bare "multiplicere" det ved hjælp af den fordelende egenskab og løse som normalt.
-
Lad os f.eks. Bruge ligningen ((x + 3)/2) = ((x + 1)/4). I dette tilfælde, som ovenfor, løser vi det ved krydsprodukt:
- (x + 3) × 4 = 4x + 12
- (x + 1) × 2 = 2x + 2
- 2x + 2 = 4x + 12, så kan vi forenkle brøken ved at trække 2x fra begge sider
- 2 = 2x + 12, så isolerer vi variablen ved at trække 12 fra begge sider
- -10 = 2x, og divider med 2 for at finde x
- - 5 = x
Metode 5 af 5: Brug af kvadratiske formler til at finde variabler
Trin 1. Kryds de to fraktioner
For ligestillingsproblemer, der kræver en kvadratisk formel, starter vi stadig med at bruge krydsprodukt. Ethvert krydsprodukt, der involverer at multiplicere vilkårene for en variabel med vilkårene i en anden variabel, vil sandsynligvis resultere i et udtryk, der ikke let kan løses ved hjælp af algebra. I tilfælde som disse skal du muligvis bruge teknikker som factoring og/eller kvadratiske formler.
-
Lad os f.eks. Se på ligningen ((x +1)/3) = (4/(2x - 2)). Lad os først krydse multiplicere:
- (x + 1) × (2x - 2) = 2x2 + 2x -2x - 2 = 2x2 - 2
- 4 × 3 = 12
- 2x2 - 2 = 12.
Trin 2. Skriv ligningen som en kvadratisk ligning
I dette afsnit vil vi skrive denne ligning i kvadratisk form (ax2 + bx + c = 0), som vi gør ved at indstille ligningen til nul. I dette tilfælde trækker vi 12 fra begge sider for at få 2x2 - 14 = 0.
Nogle værdier kan være lig med 0. Selvom 2x2 - 14 = 0 er den enkleste form for vores ligning, den virkelige kvadratiske ligning er 2x2 + 0x + (-14) = 0. Det kan være nyttigt i starten at skrive formen for den kvadratiske ligning ned, selvom nogle værdier er lig med 0.
Trin 3. Løs ved at tilslutte tallene fra din kvadratiske ligning til den kvadratiske formel
Kvadratisk formel (x = (-b +/- (b2 - 4ac))/2a) hjælper os med at finde vores x -værdi i dette afsnit. Vær ikke bange for formelens længde. Du tager bare værdierne fra din kvadratiske ligning i trin to og sætter dem de rigtige steder, før du løser dem.
- x = (-b +/- (b2 - 4ac))/2a. I vores ligning er 2x2 - 14 = 0, a = 2, b = 0 og c = -14.
- x = (-0 +/- (02 - 4(2)(-14)))/2(2)
- x = (+/- (0 - -112))/2 (2)
- x = (+/- (112))/2 (2)
- x = (+/- 10,58/4)
- x = +/- 2, 64
Trin 4. Kontroller dit svar ved at indtaste værdien af x i din andengradsligning
Ved at tilslutte den beregnede x -værdi tilbage til din andengradsligning fra trin to, kan du nemt afgøre, om du fik svaret rigtigt. I dette eksempel tilslutter du 2, 64 og -2, 64 til den oprindelige andengradsligning.
Tips
- At konvertere en brøk til dens ækvivalent er faktisk en form for at gange en brøk med 1. Ved at konvertere 1/2 til 2/4 er multiplikation af tæller og nævner med 2 det samme som at gange 1/2 med 2/2, hvilket er lig med 1.
-
Hvis det ønskes, konverter det blandede tal til en almindelig brøk for at gøre konverteringen lettere. Selvfølgelig er ikke alle de brøker, du støder på, lige så lette som at konvertere vores 4/8 eksempel ovenfor. For eksempel kan blandede tal (f.eks. 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3 osv.) Gøre konverteringsprocessen en smule mere kompliceret. Hvis du skal konvertere et blandet tal til en almindelig brøk, kan du gøre dette på to måder: ved at konvertere det blandede tal til en fælles brøk og derefter konvertere det som normalt, eller ved at fastholde formen for blandede tal og få svar i form af blandede tal.
- For at konvertere til en almindelig brøk multipliceres heltalskomponenten i det blandede tal med nævneren for brøkdelskomponenten og tilføjer derefter til tælleren. For eksempel 1 2/3 = ((1 × 3) + 2)/3 = 5/3. Om ønsket kan du derefter ændre det efter behov. For eksempel 5/3 × 2/2 = 10/6, der forbliver lig med 1 2/3.
- Vi behøver dog ikke at konvertere det til en almindelig brøk som ovenfor. Ellers lader vi heltalskomponenten være i fred, ændrer kun brøkdelskomponenten og tilføjer heltalskomponenten uændret. For eksempel for 3 4/16 ser vi kun 4/16. 4/16 4/4 = 1/4. Så ved at tilføje vores heltalskomponenter tilbage får vi et nyt blandet tal, 3 1/4.
Advarsel
- Multiplikation og division kan bruges til at få ækvivalente brøker, fordi multiplikation og division med brøkformen af tallet 1 (2/2, 3/3 osv.) Giver et svar, der svarer til den oprindelige brøk, per definition. Addition og subtraktion kan ikke bruges.
-
Selvom du multiplicerer tællerne og nævnerne, når du multiplicerer brøker, tilføjer eller trækker du ikke nævnerne, når du tilføjer eller trækker brøker.
For eksempel ved vi ovenfor, at 4/8 4/4 = 1/2. Lægger vi sammen inden 4/4, får vi et helt andet svar. 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 eller 3/2, de er ikke lig med 4/8.
