Afstand, ofte givet variablen “s”, er en måling af rummet, der er en lige linje mellem to punkter. Afstand kan referere til rummet mellem to faste punkter (for eksempel er en persons højde afstanden fra bunden af fødderne til toppen af hovedet) eller det kan referere til rummet mellem den aktuelle position af et objekt i bevægelse og den oprindelige placering, hvor objektet begyndte at bevæge sig. De fleste afstandsproblemer kan løses ved hjælp af ligningen s = v × t, hvor s er afstanden, v er gennemsnitshastigheden, og t er tiden eller brug s = ((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2), hvor (x1, y1) og (x2, y2) er x- og y -koordinaterne for de to punkter.
Trin
Metode 1 af 2: Beregning af afstand med gennemsnitlig hastighed og tid
Trin 1. Find de gennemsnitlige hastigheds- og tidsværdier
Når man forsøger at beregne afstanden et objekt i bevægelse har tilbagelagt, er der to oplysninger, der er vigtige for denne beregning: hastighed (eller hastighed) og tid at den bevægelige genstand har rejst. Med disse oplysninger er det muligt at beregne den afstand, objektet tilbagelægger ved hjælp af formlen s = v × t.
For bedre at forstå processen med at bruge afstandsformlen, lad os løse et eksempelproblem i dette afsnit. Lad os sige, at vi kører ad en vej i 120 miles i timen (ca. 193 km i timen), og vi vil vide, hvor langt vi har tilbagelagt på en halv time. Brug 120 miles i timen som værdien af gennemsnitshastigheden og 0,5 timer som værdien af tid, løser vi dette problem i det næste trin.
Trin 2. Multiplicer gennemsnitshastigheden med tiden
Efter at have kendt gennemsnitshastigheden for et objekt i bevægelse og den tid det har rejst, er det relativt let at beregne den tilbagelagte afstand. Bare multiplicér de to værdier for at finde svaret.
- Bemærk dog, at hvis den tidsenhed, der bruges i gennemsnitshastighedsværdien, er forskellig fra den, der blev brugt i tidsværdien, skal du ændre en til at matche. For eksempel, hvis vi havde en gennemsnitshastighedsværdi målt i km i timen og en tidsværdi målt i minutter, skulle du dividere tidsværdien med 60 for at konvertere den til timer.
- Lad os afslutte vores eksempelproblem. 120 miles/time × 0,5 timer = 60 miles. Bemærk, at enhederne i tidsværdien (timer) udelader nævneren af gennemsnitshastigheden (timer), der kun efterlader afstandsenhederne (miles).
Trin 3. Skift ligningen for at beregne en anden variabel
Enkelheden i grundafstandsligningen (s = v × t) gør det let at bruge ligningen til at finde værdien af en anden variabel end afstand. Isolér bare den variabel, du vil finde i henhold til de grundlæggende regler for algebra, og indtast derefter værdierne for de to andre variabler for at finde værdien af den tredje variabel. Med andre ord, for at beregne objektets gennemsnitshastighed, skal du bruge ligningen v = s/t og for at beregne den tid, der er gået af objektet, skal du bruge ligningen t = s/v.
- Lad os f.eks. Sige, at vi ved, at en bil har tilbagelagt 60 miles på 50 minutter, men vi har ikke en værdi for gennemsnitshastigheden, når objektet bevæger sig. I dette tilfælde kan vi isolere variablen v i den grundlæggende afstandsligning for at få v = d/t, derefter bare dividere 60 miles/50 minutter for at få svaret 1,2 miles/minut.
- Bemærk, at svaret for hastighed i eksemplet har en usædvanlig enhed (miles/minut). For at få et svar i de mere almindelige miles/time, gang med 60 minutter/time for at få resultatet 72 miles/time.
Trin 4. Bemærk, at variablen “v” i afstandsformlen refererer til gennemsnitshastigheden
Det er vigtigt at forstå, at den grundlæggende afstandsformel giver et forenklet billede af bevægelsen af et objekt. Afstandsformlen antager, at et objekt i bevægelse har en konstant hastighed - med andre ord antager det, at et objekt i bevægelse har en enkelt, uforanderlig hastighed. For abstrakte matematiske problemer, f.eks. Dem, du kan støde på i akademiske omgivelser, er det undertiden stadig muligt at modellere bevægelsen af et objekt ved hjælp af denne antagelse. I virkeligheden afspejler disse eksempler imidlertid ofte ikke nøjagtigt bevægelsen af objekter i bevægelse, som faktisk kan accelerere, bremse, stoppe og vende over tid.
- I eksempelproblemet ovenfor konkluderede vi for eksempel, at for at tilbagelægge 60 miles på 50 minutter skulle vi rejse med 72 miles i timen. Dette er imidlertid kun sandt, hvis du kører med en hastighed under hele rejsen. For eksempel ved at rejse 80 miles/time for den halve rejse og 64 miles/time for den resterende halvdel, vil vi stadig tilbagelægge 60 miles på 50 minutter - 72 miles/time = 60 miles/50 minutter = ?????
- Regnebaserede løsninger, der bruger derivater, er ofte et bedre valg end afstandsformler til at definere et objekts hastighed i virkelige situationer, fordi ændringer i hastighed er mulige.
Metode 2 af 2: Beregning af afstanden mellem to punkter
Trin 1. Find de to rumlige koordinater for de to punkter
Hvad hvis du i stedet for at beregne afstanden, et objekt i bevægelse har tilbagelagt, skal beregne afstanden mellem to objekt, der ikke kan flyttes? I et sådant tilfælde fungerer den hastighedsbaserede afstandsformel, der er beskrevet ovenfor, ikke. Heldigvis kan forskellige afstandsformler bruges til let at beregne afstanden mellem to punkter. For at bruge denne formel skal du dog kende koordinaterne for de to punkter. Hvis man håndterer endimensionelle afstande (som på en talelinje), vil koordinaterne bestå af to tal, x1 og x2. Hvis du håndterer afstande i to dimensioner, skal du bruge to værdier (x, y), (x1, y1) og (x2, y2). Endelig skal du for tre dimensioner bruge værdien (x1, y1, z1) og (x2, y2, z2).
Trin 2. Beregn den endimensionelle afstand ved at trække koordinatværdierne for to punkter
Det er let at beregne den endimensionelle afstand mellem to punkter, når du allerede kender værdien af hvert punkt. Brug bare formlen s = | x2 - x1|. I denne formel trækker du x1 fra x2, tag derefter den absolutte værdi af dit svar for at finde afstanden mellem x1 og x2. Normalt vil du bruge den endimensionelle afstandsformel, når de to punkter er på en linje eller talakse.
- Bemærk, at denne formel bruger absolutte værdier (symbol " | |"). Absolut værdi betyder kun, at værdien inde i symbolet bliver positiv, hvis den er negativ.
-
Lad os f.eks. Sige, at vi stopper ved siden af vejen på en helt lige motorvej. Hvis der er en by 5 miles foran os og en anden by 1 km bag os, hvor langt er de to byer? Hvis vi sætter by 1 som x1 = 5 og by 2 som x1 = -1, vi kan beregne s, afstanden mellem de to byer på følgende måde:
- s = | x2 - x1|
- = |-1 - 5|
- = |-6| = 6 miles.
Trin 3. Beregn den todimensionale afstand ved hjælp af Pythagoras sætning
Beregning af afstanden mellem to punkter i todimensionalt rum er mere kompliceret end i endimensionel, men ikke svært. Brug bare formlen s = ((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2). I denne formel trækkes de to x-koordinater, beregner kvadratroden, trækker de to y-koordinater, beregner kvadratroden, tilføjer derefter de to resultater sammen og beregner kvadratroden for at finde afstanden mellem de to punkter. Denne formel gælder for et todimensionalt plan - f.eks. På en almindelig x/y -graf.
- Den todimensionale afstandsformel gør brug af Pythagoras sætning, der siger, at længden af hypotenusen i trekanten til højre er lig med kvadratroden af firkanten på de to andre sider.
- Lad os f.eks. Sige, at vi har to punkter i x -y -planet: (3, -10) og (11, 7), som repræsenterer midten af en cirkel og et punkt på cirklen. For at finde den lige linjeafstand mellem to punkter kan vi beregne det på følgende måde:
- s = ((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2)
- s = ((11 - 3)2 + (7 - -10)2)
- s = (64 + 289)
- s = (353) = 18, 79
Trin 4. Beregn den tredimensionelle afstand ved at ændre den todimensionelle afstandsformel
I tre dimensioner har punkter z -koordinater ud over x- og y -koordinater. For at beregne afstanden mellem to punkter i det tredimensionelle rum, brug s = ((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2). Dette er en modificeret form af den todimensionale afstandsformel beskrevet ovenfor, der inkluderer z-koordinaten. Fratræk de to z-koordinater, beregning af kvadratroden og fortsæt med resten af formlen sikrer, at dit endelige svar repræsenterer den tredimensionelle afstand mellem de to punkter.
- Lad os f.eks. Sige, at vi er astronauter, der flyder i rummet mellem to asteroider. Den ene asteroide er cirka 8 km foran, 2 km til højre og 5 km under os, mens den anden er cirka 3 km bagud, 3 km til venstre og 4 km over os. Hvis vi repræsenterer placeringen af de to asteroider med koordinaterne (8, 2, -5) og (-3, -3, 4), kan vi beregne afstanden mellem dem på følgende måde:
- s = ((-3 - 8)2 + (-3 - 2)2 + (4 - -5)2)
- s = ((-11)2 + (-5)2 + (9)2)
- s = (121 + 25 + 81)
- s = (227) = 15, 07 km
