6 måder at faktorere polynom på anden grad (firkantligninger)

2024 Forfatter: Jason Gerald | [email protected]. Sidst ændret: 2024-01-19 22:11

Et polynom indeholder en variabel (x) med en effekt, kendt som en grad, og flere udtryk og/eller konstanter. At faktorisere et polynom betyder at opdele ligningen i enklere ligninger, der kan multipliceres. Denne færdighed er i Algebra 1 og opefter, og det kan være svært at forstå, hvis dine matematiske færdigheder ikke er på dette niveau.

Trin

Start

Trin 1. Konfigurer din ligning

Standardformatet for en kvadratisk ligning er:

økse² + bx + c = 0

Start med at bestille vilkårene i din ligning fra højeste til laveste effekt, ligesom i dette standardformat. For eksempel:

6 + 6x² + 13x = 0

Vi vil omarrangere denne ligning, så det er lettere at arbejde med ved blot at flytte vilkårene:

6x² + 13x + 6 = 0

Trin 2. Find formfaktoren ved hjælp af en af følgende metoder

Fakturering af polynomet resulterer i to enklere ligninger, der kan multipliceres for at producere det originale polynom:

6x² + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)

I dette eksempel er (2x + 3) og (3x + 2) faktorerne i den oprindelige ligning, 6x² +13x+6.

Trin 3. Tjek dit arbejde

Multiplicer de faktorer, du har. Kombiner derefter lignende vilkår, og du er færdig. Start med:

(2x + 3) (3x + 2)

Lad os prøve at gange termerne ved hjælp af PLDT (først - udvendigt - indvendigt - sidste), hvilket resulterer i:

6x² + 4x + 9x + 6

Herfra kan vi tilføje 4x og 9x, fordi de er som udtryk. Vi ved, at vores faktorer er korrekte, fordi vi får vores oprindelige ligning:

6x² + 13x + 6

Metode 1 af 6: Trial and Error

Hvis du har et ret simpelt polynom, kan du måske selv finde faktorerne ved blot at se på dem. For eksempel kan mange matematikere efter øvelse regne ud, at ligningen 4x² + 4x + 1 har en faktor (2x + 1) og (2x + 1) bare ved at se på det ofte. (Dette vil naturligvis ikke være let for mere komplicerede polynomier). I dette eksempel, lad os bruge en mindre hyppigt anvendt ligning:

3x² + 2x - 8

Trin 1. Skriv en liste over faktorerne for udtryk a og udtryk c

Brug af øksligningsformatet² + bx + c = 0, identificer udtrykkene a og c og skriv de faktorer ned, som begge termer har. Til 3x² + 2x - 8, hvilket betyder:

a = 3 og har et sæt faktorer: 1 * 3

c = -8 og har fire sæt faktorer: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 og -1 * 8.

Trin 2. Skriv to sæt parenteser med tomme mellemrum ned

Du udfylder de emner, du har oprettet med konstanter for hver ligning:

(x) (x)

Trin 3. Udfyld emnerne foran x med de mulige par faktorer for værdien af a

For udtrykket a i vores eksempel er 3x², der er kun en mulighed for vores eksempel:

(3x) (1x)

Trin 4. Udfyld de to emner efter x med par af faktorer for konstanten

Antag, at vi vælger 8 og 1. Skriv i dem:

(3x

Trin 8.)(

Trin 1

Trin 5. Bestem tegnet (plus eller minus) mellem variablen x og tallet

Afhængigt af tegnene i den originale ligning kan det være muligt at søge efter tegn efter konstanter. Antag, at vi kalder de to konstanter for h og k for vores to faktorer:

Hvis øks² + bx + c derefter (x + h) (x + k)

Hvis øks² - bx - c eller ax² + bx - c derefter (x - h) (x + k)

Hvis øks² - bx + c derefter (x - h) (x - k)

For vores eksempel, 3x² + 2x - 8, tegnene er: (x - h) (x + k), hvilket giver os to faktorer:

(3x + 8) og (x - 1)

Trin 6. Test dine valg ved hjælp af først-ud-i-sidste multiplikation (PLDT)

Den første hurtige test er at se, om mellemfristen i det mindste har den korrekte værdi. Hvis ikke, har du muligvis valgt de forkerte c -faktorer. Lad os teste vores svar:

(3x + 8) (x - 1)

Ved multiplikation får vi:

3x² - 3x + 8x - 8

Forenkling af denne ligning ved at tilføje lignende udtryk (-3x) og (8x) får vi:

3x² - 3x + 8x - 8 = 3x² + 5x - 8

Nu ved vi, at vi må have brugt de forkerte faktorer:

3x² + 5x - 8 3x² + 2x - 8

Trin 7. Skift dit valg, hvis det er nødvendigt

I vores eksempel, lad os prøve 2 og 4 i stedet for 1 og 8:

(3x + 2) (x - 4)

Nu er vores c -udtryk -8, men vores ydre/indvendige produkt (3x * -4) og (2 * x) er -12x og 2x, hvilket tilsammen ikke vil producere det korrekte b +2x -udtryk.

-12x + 2x = 10x

10x 2x

Trin 8. Vend om nødvendigt ordren

Lad os prøve at skifte 2 og 4:

(3x + 4) (x - 2)

Nu er vores c -udtryk (4 * 2 = 8) korrekt, men det ydre/indre produkt er -6x og 4x. Hvis vi kombinerer dem:

-6x + 4x = 2x

2x -2x Vi er temmelig tæt på 2x, vi leder efter, men tegnet er forkert.

Trin 9. Dobbelttjek dine tags, hvis det er nødvendigt

Vi bruger den samme rækkefølge, men bytter ligningerne, der har minustegnet:

(3x - 4) (x + 2)

Nu er udtrykket c ikke noget problem, og det nuværende ydre/indre produkt er (6x) og (-4x). Fordi:

6x - 4x = 2x

2x = 2x Nu kan vi bruge positive 2x fra det oprindelige problem. Det skal være de korrekte faktorer.

Metode 2 af 6: Nedbrydning

Denne metode identificerer alle de mulige faktorer for udtrykkene a og c og bruger dem til at finde de korrekte faktorer. Hvis tallene er for store eller gætteri virker tidskrævende, skal du bruge denne metode. Lad os bruge et eksempel:

6x² + 13x + 6

Trin 1. Multiplicer udtryk a med udtryk c

I dette eksempel er a 6 og c er også 6.

6 * 6 = 36

Trin 2. Få udtrykket b ved factoring og test

Vi leder efter to tal, der er faktorer for produktet a * c, som vi har identificeret og tilføjer også udtrykket b (13).

4 * 9 = 36

4 + 9 = 13

Trin 3. Erstat de to tal, du får i din ligning som et resultat af tilføjelse af udtryk b

Lad os bruge k og h til at repræsentere de to tal, vi har, 4 og 9:

økse² + kx + hx + c

6x² + 4x + 9x + 6

Trin 4. Faktor polynomet ved at gruppere

Arranger ligningerne, så du kan tage den største fælles faktor for både det første og det andet udtryk. Faktorgruppen skal være den samme. Tilføj den største fælles faktor, og placer den i parentes ved siden af faktorgruppen; resultatet er dine to faktorer:

6x² + 4x + 9x + 6

2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)

(2x + 3) (3x + 2)

Metode 3 af 6: Triple Play

På samme måde som nedbrydningsmetoden undersøger triple play -metoden de mulige faktorer for at multiplicere udtrykkene a og c og bruge værdien af b. Prøv at bruge dette eksempel ligning:

8x² + 10x + 2

Trin 1. Multiplicer udtryk a med udtryk c

Ligesom analysemetoden hjælper dette os med at identificere kandidater til termin b. I dette eksempel er a 8 og c er 2.

8 * 2 = 16

Trin 2. Find to tal, der, når de ganges med tal, producerer dette tal med en samlet sum svarende til udtrykket b

Dette trin er det samme som parsing - vi tester og kasserer kandidater for konstanten. Produktet af udtrykkene a og c er 16, og udtrykket c er 10:

2 * 8 = 16

8 + 2 = 10

Trin 3. Tag disse to tal, og test dem ved at tilslutte dem til triple play -formlen

Tag vores to tal fra det foregående trin - lad os kalde dem h og k - og tilslut dem til ligningen:

((ax + h) (ax + k))/ a

Vi får:

((8x + 8) (8x + 2)) / 8

Trin 4. Læg mærke til, om nogen af de to termer i tælleren er delelig med a

I dette eksempel så vi, om (8x + 8) eller (8x + 2) er delelig med 8. (8x + 8) er delelig med 8, så vi deler dette udtryk med a og lader de andre faktorer være i fred.

(8x + 8) = 8 (x + 1)

Udtrykket i parentes her er det, der er tilbage, efter at vi har divideret med udtrykket a.

Trin 5. Tag den største fælles faktor (GCF) af en eller begge termer, hvis nogen

I dette eksempel har det andet udtryk en GCF på 2, fordi 8x + 2 = 2 (4x + 1). Kombiner dette resultat med det udtryk, du fik fra det foregående trin. Dette er faktorerne i din ligning.

2 (x + 1) (4x + 1)

Metode 4 af 6: Forskel på firkantede rødder

Nogle koefficienter i polynomier kan være 'firkanter' eller et produkt af to tal. Ved at identificere disse firkanter kan du faktorere flere polynomer hurtigere. Prøv denne ligning:

27x² - 12 = 0

Trin 1. Tag den største fælles faktor ud, hvis det er muligt

I dette tilfælde kan vi se, at 27 og 12 er delelige med 3, så vi får:

27x² - 12 = 3 (9x² - 4)

Trin 2. Identificer, om koefficienterne i din ligning er kvadratiske tal

For at bruge denne metode skal du være i stand til at tage kvadratroden af begge udtryk. (Bemærk, at vi vil ignorere det negative tegn - fordi disse tal er firkanter, kan de være et produkt af to positive eller negative tal)

9x² = 3x * 3x og 4 = 2 * 2

Trin 3. Brug kvadratroden, du har, til at skrive faktorerne ned

Vi tager værdierne for a og c fra vores trin ovenfor - a = 9 og c = 4, derefter finder vi kvadratroden - a = 3 og c = 2. Resultatet er koefficienten for faktorligningen:

27x² - 12 = 3 (9x² - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

Metode 5 af 6: Kvadratisk formel

Hvis alt andet fejler, og ligningen ikke kan regnes hel, skal du bruge den kvadratiske formel. Prøv dette eksempel:

x² + 4x + 1 = 0

Trin 1. Indtast de nødvendige værdier i den kvadratiske formel:

x = -b ± (b² - 4ac)

2a

Vi får ligningen:

x = -4 ± (4² - 4•1•1) / 2

Trin 2. Find værdien af x

Du får to værdier. Som vist ovenfor får vi to svar:

x = -2 + (3) eller x = -2 -(3)

Trin 3. Brug din x-værdi til at finde faktorerne

Tilslut de x -værdier, du har, til de to polynomiske ligninger som konstanter. Resultatet er dine faktorer. Hvis vi kalder vores svar h og k, nedskriver vi de to faktorer som følger:

(x - h) (x - k)

I dette eksempel er vores endelige svar:

(x - (-2 + (3)) (x - (-2 - (3)) = (x + 2 - (3)) (x + 2 + (3))

Metode 6 af 6: Brug af lommeregneren

Hvis du har lov til at bruge en lommeregner, gør en grafisk lommeregner factoringprocessen meget lettere, især for standardiserede tests. Disse instruktioner er til TI -grafregner. Vi bruger en eksempelligning:

y = x² x 2

Trin 1. Indtast din ligning i regnemaskinen

Du vil bruge factoring af ligningen, som er skrevet [Y =] på skærmen.

Trin 2. Graf din ligning med din lommeregner

Når du har indtastet din ligning, skal du trykke på [GRAPH] - du vil se en glat kurve, der repræsenterer din ligning (og formen er en kurve, fordi vi bruger polynomier).

Trin 3. Find det sted, hvor kurven skærer med x-aksen

Da polynomligninger normalt skrives som øks² + bx + c = 0, dette skæringspunkt er den anden værdi af x, der får ligningen til at være nul:

(-1, 0), (2, 0)

x = -1, x = 2

Hvis du ikke kan identificere, hvor grafen skærer med x-aksen ved at se på den, skal du trykke på [2nd] og derefter [TRACE]. Tryk på [2], eller vælg nul. Flyt markøren til venstre for krydset, og tryk på [ENTER]. Flyt markøren til højre for skæringspunktet, og tryk på [ENTER]. Flyt markøren så tæt på skæringspunktet som muligt, og tryk på [ENTER]. Regnemaskinen finder værdien af x. Gør dette også for de andre kryds

Trin 4. Sæt den x -værdi, der er opnået fra det foregående trin, i den to faktorielle ligning

Hvis vi navngav begge vores x -værdier h og k, ville ligningerne, vi ville bruge, være:

(x - h) (x - k) = 0

Således er vores to faktorer:

(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

Tips

• Hvis du har en TI-84-lommeregner (graf), er der et program kaldet SOLVER, der vil løse dine kvadratiske ligninger. Dette program vil løse polynomer af enhver grad.
• Hvis et udtryk ikke skrives, er koefficienten 0. Det er nyttigt at omskrive ligningen, hvis dette er tilfældet, for eksempel: x² + 6 = x² +0x+6.
• Hvis du indregnede dit polynom ved hjælp af en kvadratisk formel og fik svaret i form af rødder, vil du måske konvertere værdien af x til en brøkdel for at kontrollere.
• Hvis et udtryk ikke har en skriftlig koefficient, er koefficienten 1, for eksempel: x² = 1x².
• Efter nok øvelse vil du i sidste ende kunne faktorere polynomer i dit hoved. Indtil du kan gøre det, skal du altid skrive ned vejledningen.