I matematik, factoring er en måde at finde tal eller udtryk, som når de multipliceres vil producere et givet tal eller ligning. Factoring er en nyttig færdighed til at lære at løse simple algebra -problemer; evnen til at faktorere godt, bliver vigtig, når vi behandler kvadratiske ligninger og andre former for polynomier. Factoring kan bruges til at forenkle algebraiske udtryk for at gøre deres løsninger lettere. Factoring kan endda give dig mulighed for at fjerne visse mulige svar, meget hurtigere end at løse dem manuelt.
Trin
Metode 1 af 3: Factoring tal og simple algebraiske udtryk
Trin 1. Forstå definitionen af factoring, når den anvendes på enkelte tal
Factoring er et enkelt koncept, men i praksis kan det være udfordrende, når det anvendes på komplekse ligninger. Derfor er det nemmest at nærme sig begrebet factoring ved at starte med simple tal og derefter gå videre til simple ligninger, før man endelig går videre til mere komplekse applikationer. Faktorer for et tal er tal, som når de multipliceres producerer tallet. For eksempel er faktorerne 12, 1, 12, 2, 6, 3 og 4, fordi 1 × 12, 2 × 6 og 3 × 4 er lig med 12.
- En anden måde at tænke på det er, at faktorerne i et tal er tal, der kan dele sig jævnt i tallet.
-
Kan du finde alle faktorerne i tallet 60? Vi bruger tallet 60 til forskellige formål (minutter i en time, sekunder i et minut osv.), Fordi det kan deles med ganske mange andre tal.
Faktorerne 60 er 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 og 60
Trin 2. Forstå, at variable udtryk også kan indregnes
Ligesom tal selv kan faktoriseres, kan variabler med talkoefficienter også faktoriseres. For at gøre dette skal du bare finde faktorerne for de variable koefficienter. At vide, hvordan man faktoriserer en variabel, er meget nyttig til at forenkle algebraiske ligninger, der involverer denne variabel.
-
F.eks. Kan variablen 12x skrives som produktet af faktorerne 12 og x. Vi kan skrive 12x som 3 (4x), 2 (6x) osv. Ved at bruge de faktorer på 12, der fungerer bedst til vores formål.
Vi kan endda faktor 12x flere gange. Med andre ord behøver vi ikke stoppe ved 3 (4x) eller 2 (6x) - vi kan faktorere 4x og 6x for at producere 3 (2 (2x) og 2 (3 (2x). Selvfølgelig er disse to udtryk) er ækvivalente
Trin 3. Anvend fordelingsegenskaben multiplikation på faktoralgebraiske ligninger
Ved at bruge din viden om, hvordan du faktoriserer både enkelt tal og variabler med koefficienter, kan du forenkle simple algebraiske ligninger ved at finde de faktorer, som tal og variabler deler i algebraiske ligninger. Normalt forsøger vi for at forenkle en ligning at finde den største fælles faktor. Denne forenklingsproces er mulig på grund af multiplikationens fordelingsegenskab, der gælder for ethvert tal a, b og c. a (b + c) = ab + ac.
- Lad os prøve et eksempel på et spørgsmål. For at faktorisere den algebraiske ligning 12x + 6, lad os først prøve at finde den største fælles faktor på 12x og 6. 6 er det største tal, der jævnt kan dele 12x og 6, så vi kan forenkle ligningen til 6 (2x + 1).
- Denne proces gælder også for ligninger med negative tal og brøker. For eksempel kan x/2 + 4 forenkles til 1/2 (x + 8), og -7x + -21 kan indregnes til -7 (x + 3).
Metode 2 af 3: Faktorisering af kvadratiske ligninger
Trin 1. Sørg for, at ligningen er i kvadratisk form (ax2 + bx + c = 0).
Kvadratiske ligninger har formen ax2 + bx + c = 0, hvor a, b og c er talskonstanter og ikke lig med 0 (bemærk at a kan være 1 eller -1). Hvis du har en ligning, der har en variabel (x), der har et udtryk x til to eller flere, flytter du normalt disse udtryk i ligningen ved hjælp af simple algebraiske operationer for at få 0 på hver side af lighedstegnet og aksen2, etc. på den anden side.
- Lad os for eksempel tænke på en algebraisk ligning. 5x2 + 7x - 9 = 4x2 + x - 18 kan forenkles til x2 + 6x + 9 = 0, som er kvadratisk form.
- Ligninger med den større effekt af x, såsom x3, x4, etc. er ikke kvadratiske ligninger. Disse ligninger er kubiske ligninger, til den fjerde effekt osv., Medmindre ligningen kan forenkles for at fjerne disse x udtryk med kræfter større end 2.
Trin 2. I en kvadratisk ligning, hvor a = 1, faktor ind i (x+d) (x+e), hvor d × e = c og d+e = b
Hvis din kvadratiske ligning er i formen x2 + bx + c = 0 (med andre ord, hvis koefficienten for udtrykket x2 = 1), er det muligt (men ikke garanteret), at en temmelig let stenografisk metode kan bruges til at faktorere ligningen. Find to tal, som når de multipliceres giver c og tilsat for at producere b. Når du har søgt efter disse to tal d og e, skal du sætte dem i følgende udtryk: (x+d) (x+e). Disse to udtryk, når de multipliceres, giver dig din kvadratiske ligning - med andre ord er de faktorerne i din kvadratiske ligning.
- Lad os f.eks. Tænke på den kvadratiske ligning x2 + 5x + 6 = 0. 3 og 2 multipliceres til at give 6 og tilføjes også til at give 5, så vi kan forenkle denne ligning til (x + 3) (x + 2).
-
Den lille forskel i denne grundlæggende stenografi -metode ligger i forskellene i selve lighederne:
- Hvis den kvadratiske ligning er i formen x2-bx+c, dit svar er i denne form: (x - _) (x - _).
- Hvis ligningen er i formen x2+ bx + c, dit svar ser sådan ud: (x + _) (x + _).
- Hvis ligningen er i formen x2-bx -c, dit svar er i formen (x + _) (x -_).
- Bemærk: tallene i emnerne kan være brøker eller decimaler. For eksempel er ligningen x2 + (21/2) x + 5 = 0 er indregnet i (x + 10) (x + 1/2).
Trin 3. Faktorér om muligt gennem kontroller
Tro det eller ej, for ukomplicerede kvadratiske ligninger er en af de tilladte factoringmetoder at undersøge problemet, og derefter overveje de mulige svar, indtil du finder det korrekte svar. Denne metode er også kendt som factoring gennem undersøgelse. Hvis ligningen er i formen ax2+bx +c og a> 1, er dit faktorsvar i formen (dx +/- _) (ex +/- _), hvor d og e er konstanter for ikke-nul tal, som når de multipliceres giver a. Hverken d eller e (eller begge) kan være 1, selvom det ikke behøver at være det. Hvis begge er 1, bruger du dybest set den stenografi -metode, der er beskrevet ovenfor.
Lad os tænke på et eksempelproblem. 3x2 - 8x + 4 ser svært ud i starten. Men når vi indser, at 3 kun har to faktorer (3 og 1), bliver denne ligning lettere, fordi vi ved, at vores svar skal have formen (3x +/- _) (x +/- _). I dette tilfælde giver tilføjelse af -2 til begge emner det korrekte svar. -2 × 3x = -6x og -2 × x = -2x. -6x og -2x tilføjer op til -8x. -2 × -2 = 4, så vi kan se, at de udtryk, der indgår i parenteser, når de multipliceres, producerer den originale ligning.
Trin 4. Løs ved at fuldføre firkanten
I nogle tilfælde kan kvadratiske ligninger hurtigt og let faktoriseres ved hjælp af specielle algebraiske identiteter. Enhver kvadratisk ligning i formen x2 + 2xh + h2 = (x + h)2. Så hvis din b -værdi i din ligning er to gange kvadratroden af din c -værdi, kan din ligning regnes med (x + (root (c)))2.
For eksempel er ligningen x2 +6x+9 har denne form. 32 er 9 og 3 × 2 er 6. Så vi ved, at faktorformen for denne ligning er (x + 3) (x + 3) eller (x + 3)2.
Trin 5. Brug faktorer til at løse andengradsligninger
Uanset hvordan du faktoriserede din kvadratiske ligning, kan du, når ligningen er indregnet, finde mulige svar på værdien af x ved at gøre hver faktor lig med nul og løse dem. Da du leder efter værdien af x, der gør din ligning lig med nul, er værdien af x, der gør enhver faktor lig med nul, et muligt svar på din kvadratiske ligning.
Lad os gå tilbage til ligning x2 + 5x + 6 = 0. Denne ligning er indregnet i (x + 3) (x + 2) = 0. Hvis en af faktorerne er lig med 0, er alle ligninger lig med 0, så vores mulige svar for x er tal- et tal, der gør (x + 3) og (x + 2) er lig med 0. Disse tal er henholdsvis -3 og -2.
Trin 6. Tjek dine svar - nogle af svarene kan være vildledende
Når du finder mulige svar for x, skal du sætte dem tilbage i din originale ligning for at se, om svaret er korrekt. Nogle gange gør de svar, du finder, ikke den oprindelige ligning lig med nul, når den indtastes igen. Vi kalder dette svar afvigende og ignorerer det.
-
Lad os sætte -2 og -3 i x2 + 5x + 6 = 0. Først -2:
- (-2)2 + 5(-2) + 6 = 0
- 4 + -10 + 6 = 0
- 0 = 0. Dette svar er korrekt, så -2 er det korrekte svar.
-
Lad os nu prøve -3:
- (-3)2 + 5(-3) + 6 = 0
- 9 + -15 + 6 = 0
- 0 = 0. Dette svar er også korrekt, så -3 er det korrekte svar.
Metode 3 af 3: Factoring andre ligninger
Trin 1. Hvis ligningen udtrykkes i form a2-b2, faktor ind i (a+b) (a-b).
Ligninger med to variabler har andre faktorer end den grundlæggende kvadratiske ligning. Til ligning a2-b2 alt, hvor a og b ikke er lig med 0, er ligningens faktorer (a+b) (a-b).
For eksempel er ligningen 9x2 - 4 år2 = (3x + 2y) (3x - 2y).
Trin 2. Hvis ligningen udtrykkes i form a2+2ab+b2, faktor ind i (a+b)2.
Bemærk, at hvis trinomiet har formen a2-2ab+b2, formfaktorerne er lidt forskellige: (a-b)2.
4x. Ligning2 + 8xy + 4y2 kan omskrives som 4x2 + (2 × 2 × 2) xy + 4y2. Nu kan vi se, at formen er korrekt, så vi kan være sikre på, at faktorerne i vores ligning er (2x + 2y)2
Trin 3. Hvis ligningen udtrykkes i form a3-b3, faktor ind i (a-b) (a2+ab+b2).
Endelig blev det allerede nævnt, at kubiske ligninger og endnu højere magter kan medregnes, selvom factoringprocessen hurtigt bliver meget kompliceret.
For eksempel 8x3 - 27 år3 indregnet i (2x - 3y) (4x2 + ((2x) (3y)) + 9y2)
Tips
- -en2-b2 kan indregnes, a2+b2 ikke kan medregnes.
- Husk at faktorisere en konstant. Dette kan hjælpe.
- Vær forsigtig med brøker i factoring -processen, og arbejd med brøker korrekt og omhyggeligt.
- Hvis du har et trinomium af formen x2+ bx+ (b/2)2, formfaktoren er (x+(b/2))2. (Du kan støde på denne situation, når du udfylder firkanten.)
- Husk at a0 = 0 (egenskaben ved produktet af nul).
