I dagene før regnemaskiner blev opfundet, skulle studerende og professorer beregne kvadratrødder manuelt. Flere forskellige måder er blevet udviklet til at overvinde denne vanskelige proces. Nogle måder giver et groft skøn, og andre giver en nøjagtig værdi. For at lære at finde kvadratroden af et tal ved hjælp af enkle operationer, se trin 1 nedenfor for at komme i gang.
Trin
Metode 1 af 2: Brug af Prime Factorization
Trin 1. Opdel dit tal i perfekte firkantede faktorer
Denne metode bruger faktorerne i et tal til at finde kvadratroden af tallet (svaret kan afhængigt af tallet være et nøjagtigt tal eller en tæt tilnærmelse). Faktorerne for et tal er et sæt andre tal, der, når de multipliceres, producerer det tal. For eksempel kan du sige, at faktorerne 8 er 2 og 4, fordi 2 × 4 = 8. I mellemtiden er perfekte firkanter hele tal, der er produktet af andre hele tal. For eksempel er 25, 36 og 49 perfekte firkanter, fordi de er henholdsvis 5.2, 62, og 72. Som du måske har gættet, er perfekte kvadratfaktorer faktorer, der også er perfekte firkanter. For at begynde at finde kvadratroden gennem primfaktorisering skal du først prøve at forenkle dit tal til dets perfekte kvadratfaktorer.
- Lad os bruge et eksempel. Vi ønsker at finde kvadratroden på 400 manuelt. For at starte deler vi tallet i sine perfekte kvadratfaktorer. Da 400 er et multiplum af 100, ved vi, at 400 er delelig med 25 - en perfekt firkant. Med en hurtig opdeling af skyggerne finder vi, at 400 divideret med 25 er lig med 16. Tilfældigvis er 16 også en perfekt firkant. Således er de perfekte kvadratfaktorer på 400 25 og 16 fordi 25 × 16 = 400.
- Vi kan skrive det som: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
Trin 2. Find kvadratroden af dine perfekte kvadratfaktorer
Ejendommens multiplikationsegenskab angiver, at for ethvert tal a og b er Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). På grund af denne egenskab kan vi nu finde kvadratroden af vores perfekte kvadratfaktorer og gange dem for at få vores svar.
-
I vores eksempel finder vi kvadratrødderne 25 og 16. Se nedenfor:
- Rod (25 × 16)
- Rod (25) × Rod (16)
-
5 × 4 =
Trin 20.
Trin 3. Hvis dit nummer ikke kan beregnes perfekt, skal du forenkle dit svar til den enkleste form
I virkeligheden er de tal, du har brug for at finde kvadratroden af, ikke behagelige hele tal med indlysende perfekte kvadratfaktorer som 400. I disse tilfælde er det muligt, at vi ikke kan finde det rigtige svar. Som et helt tal. Ved at finde så mange perfekte kvadratfaktorer som du kan finde, kan du finde svaret i form af en kvadratrod, der er mindre, enklere og lettere at beregne. For at gøre dette skal du reducere dit antal til en kombination af perfekte kvadratfaktorer og ufuldkomne kvadratfaktorer og derefter forenkle.
-
Lad os bruge kvadratroden af 147 som et eksempel. 147 er ikke et produkt af to perfekte firkanter, så vi kan ikke få den nøjagtige heltalsværdi som ovenfor. 147 er imidlertid produktet af en perfekt firkant og et andet tal - 49 og 3. Vi kan bruge disse oplysninger til at skrive vores svar i sin enkleste form som følger:
- Rod (147)
- = Rod (49 × 3)
- = Sqrt (49) × Sqrt (3)
- = 7 × rod (3)
Trin 4. Estimér om nødvendigt
Med din kvadratrod i sin enkleste form er det normalt ret let at få et groft skøn over antallet af svar ved at gætte værdien af den resterende kvadratrod og gange det. En måde at guide dit gæt på er at kigge efter perfekte firkanter, der er større end og mindre end tallet i din kvadratrod. Du vil bemærke, at decimalværdien af tallet i din kvadratrod er mellem de to tal, så du kan gætte værdien mellem de to tal.
-
Lad os vende tilbage til vores eksempel. fordi 22 = 4 og 12 = 1, vi ved, at rod (3) er mellem 1 og 2 - sandsynligvis tættere på 2 end 1. Vi anslår 1, 7. 7 × 1, 7 = 11, 9. Hvis vi tjekker vores svar på lommeregneren, kan vi se, at vores svar er ganske tæt på det virkelige svar 12, 13.
Dette gælder også for større tal. For eksempel kan Root (35) tilnærmes mellem 5 og 6 (muligvis tættere på 6). 52 = 25 og 62 = 36. 35 er mellem 25 og 36, så kvadratroden skal være mellem 5 og 6. Da 35 kun er en mindre end 36, kan vi med sikkerhed sige, at kvadratroden er lidt mindre end 6. Kontrol med en lommeregner vil giv os svaret er omkring 5, 92 - vi har ret.
Trin 5. Alternativt kan du reducere dit tal til dets mindst almindelige faktorer som dit første trin
Det er ikke nødvendigt at finde faktorerne for perfekte firkanter, hvis du let kan bestemme primtalfaktorerne for et tal (faktorer, der også er primtal). Skriv dit nummer i form af dets mindst almindelige faktorer. Find derefter de par primtal, der matcher dine faktorer. Når du finder to primfaktorer, der er de samme, skal du fjerne disse to tal fra kvadratroden og placere et af disse tal uden for kvadratroden.
-
Find for eksempel kvadratroden af 45 ved hjælp af denne metode. Vi ved, at 45 × 5, og vi ved, at under 9 = 3 × 3. Således kan vi skrive vores kvadratrode i form af faktorer som dette: Sqrt (3 × 3 × 5). Fjern bare begge 3'er og sæt en 3 uden for kvadratroden for at forenkle din kvadratrod til sin enkleste form: (3) Rod (5).
Herfra vil vi være lette at estimere.
-
Som et sidste eksempel på et problem, lad os prøve at finde kvadratroden af 88:
- Rod (88)
- = Rod (2 × 44)
- = Rod (2 × 4 × 11)
- = Rod (2 × 2 × 2 × 11). Vi har nogle 2 i vores kvadratrod. Da 2 er et primtal, kan vi fjerne et par 2'er og sætte en af dem uden for kvadratroden.
-
= Vores kvadratrod i sin enkleste form er (2) Sqrt (2 × 11) eller (2) Rod (2) Rod (11).
Herfra kan vi estimere Sqrt (2) og Sqrt (11) og finde det omtrentlige svar, som vi ønsker.
Metode 2 af 2: Sådan finder du kvadratroden manuelt
Brug af Long Division -algoritmen
Trin 1. Adskil cifrene i dit nummer i par
Denne metode bruger en proces, der ligner lang division til at finde det nøjagtige kvadratrod ciffer for ciffer. Selvom det ikke er obligatorisk, kan det være lettere for dig at udføre denne proces, hvis du visuelt organiserer din arbejdsplads og dine numre i dele, der er lette at arbejde. Først tegner du en lodret linje, der deler dit arbejdsområde i to sektioner, og derefter tegner du en kortere vandret linje nær øverste højre for at opdele den højre sektion i en mindre topdel og en større undersektion. Dernæst adskiller du dine cifre i par, startende med decimalpunktet. For eksempel, efter denne regel, bliver 79.520.789.182, 47897 "7 95 20 78 91 82. 47 89 70". Skriv dit nummer øverst til venstre.
Lad os f.eks. Prøve at beregne kvadratroden af 780, 14. Tegn to linjer for at opdele din arbejdsplads som ovenfor og skriv "7 80. 14" øverst til venstre. Det er ligegyldigt om tallet til venstre er et enkelt tal og ikke et par tal. Du skriver dit svar (kvadratrod 780, 14) øverst til højre
Trin 2. Find det største heltal, hvis kvadratværdi er mindre end eller lig med tallet (eller parpar) yderst til venstre
Start yderst til venstre for dit nummer, både talpar og enkelte tal. Find den største perfekte firkant, der er mindre end eller lig med dette tal, og find derefter kvadratroden af denne perfekte firkant. Dette nummer er n. Skriv n øverst til højre og skriv firkanten af n i den nedre højre kvadrant.
I vores eksempel er yderst til venstre tallet 7. Fordi vi ved, at 22 = 4 ≤ 7 < 32 = 9, kan vi sige, at n = 2, fordi 2 er det største heltal, hvis kvadratværdi er mindre end eller lig med 7. Skriv 2 i den øverste højre kvadrant. Dette er det første ciffer i vores svar. Skriv 4 (kvadratværdi 2) i den nedre højre kvadrant. Dette nummer er vigtigt for det næste trin.
Trin 3. Træk det tal, du lige har beregnet, fra parret til venstre
Som med lang division er det næste trin at trække værdien af den firkant, vi lige har fundet, fra den del, vi lige har analyseret. Skriv dette tal under den første del og træk det fra, og skriv dit svar under det.
-
I vores eksempel skriver vi 4 under 7 og trækker det derefter fra. Denne subtraktion giver et svar
Trin 3..
Trin 4. Drop det næste par
Flyt det næste afsnit af det tal, du leder efter kvadratroden, ud for den subtraktionsværdi, du lige har fundet. Derefter multipliceres tallet i den øverste højre kvadrant med to og skriver svaret i den nederste højre kvadrant. Ud for det nummer, du lige har skrevet ned, skal du efterlade et mellemrum til det multiplikationsproblem, du vil gøre i det næste trin ved at skrive '"_ × _ ="'.
I vores eksempel er det næste par af vores tal "80". Skriv "80" ud for 3 i venstre kvadrant. Derefter ganges tallet øverst til højre med to. Dette tal er 2, så 2 × 2 = 4. Skriv "'4"' i den nedre højre kvadrant efterfulgt af _×_=.
Trin 5. Udfyld emnerne i den højre kvadrant
Du skal udfylde alle de emner, du lige har skrevet i den rigtige kvadrant med det samme hele tal. Dette heltal skal være det største heltal, der gør produktet i højre kvadrant mindre end eller lig med det tal, der aktuelt er til venstre.
I vores eksempel udfylder vi emnerne med 8, hvilket resulterer i 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. Denne værdi er større end 384. 8 er således for stor, men 7 kan fungere. Skriv 7 i emnerne og løs: 4 (7) × 7 = 329. 7 er et korrekt tal, fordi 329 er mindre end 380. Skriv 7 i øverste højre kvadrant. Dette er det andet ciffer i kvadratroden af 780, 14
Trin 6. Træk det tal, du lige har beregnet, fra tallet nu til venstre
Fortsæt med subtraktionskæden ved hjælp af metoden med lang division. Tag produktet af problemet i den højre kvadrant og træk det fra tallet, der nu er til venstre, mens du skriver dine svar herunder.
I vores eksempel vil vi trække 329 fra 380, hvilket giver resultatet 51.
Trin 7. Gentag trin 4
Afled den næste del af det tal, du leder efter kvadratroden til. Når du når decimaltegnet i dit tal, skal du skrive decimaltegnet i dit svar i øverste højre kvadrant. Derefter multipliceres tallet øverst til højre med 2 og skriver det ved siden af det tomme multiplikationsproblem ("_ × _") som ovenfor.
I vores eksempel, da vi nu har at gøre med decimaltegnet i 780, 14, skriver du decimaltegnet efter vores nuværende svar øverst til højre. Sænk derefter det næste par (14) i venstre kvadrant. Dobbelt er tallet øverst til højre (27) lig med 54, så skriv "54 _ × _ =" i den nederste højre kvadrant
Trin 8. Gentag trin 5 og 6
Find det største ciffer, der skal udfyldes i felterne til højre, hvilket giver et svar, der er mindre end eller lig med tallet, der aktuelt er til venstre. Løs derefter problemet.
I vores eksempel er 549 × 9 = 4941, hvilket er mindre end eller lig med tallet til venstre (5114). 549 × 10 = 5490 er for stort, så 9 er dit svar. Skriv 9 som det næste ciffer i øverste højre kvadrant og træk produktet fra tallet til venstre: 5114 minus 4941 er lig med 173
Trin 9. For at fortsætte med at tælle cifrene, sænk paret af nuller til venstre, og gentag trin 4, 5 og 6
For større nøjagtighed, fortsæt denne proces for at finde hundredvis, tusinder og flere steder i dit svar. Fortsæt med at bruge denne cyklus, indtil du finder den ønskede decimal.
Forståelse af processen
Trin 1. Forestil dig det tal, du har beregnet kvadratroden af som arealet S på en firkant
Da arealet af en firkant er P2 hvor P er længden på en af siderne, så ved at forsøge at finde kvadratroden af dit tal, forsøger du faktisk at beregne længden P på den side af firkanten.
Trin 2. Bestem bogstavvariablerne for hvert ciffer i dit svar
Indstil variablen A som det første ciffer i P (kvadratroden, vi forsøger at beregne). B vil være det andet ciffer, C det tredje ciffer og så videre.
Trin 3. Bestem bogstavvariablerne for hver del af dit startnummer
Indstil variabel S-en for det første par cifre i S (din startværdi), Sb for det andet par cifre osv.
Trin 4. Forstå forholdet mellem denne metode og lang division
Denne metode til at finde kvadratroden er dybest set et langt divisionsproblem, der deler dit indledende tal med kvadratroden, hvilket giver dig kvadratroden af svaret. Ligesom i problemet med lang division er du kun interesseret i det næste ciffer i hvert trin. På denne måde er du kun interesseret i de næste to cifre i hvert trin (hvilket er det næste ciffer i hvert trin for kvadratroden).
Trin 5. Find det største tal, hvis kvadratværdi er mindre end eller lig med S-en.
Det første ciffer i A i vores svar er det største heltal, hvis kvadratiske værdi ikke overstiger S-en (dvs. A så A² Sa <(A+1) ²). I vores eksempel, S-en = 7, og 2² 7 <3², så A = 2.
Bemærk, at for eksempel hvis du ville dividere 88962 med 7 ved hjælp af lang division, er de første trin stort set de samme: du får vist det første ciffer på 88962 (hvilket er 8), og du leder efter det største ciffer som, når det multipliceres med 7, er mindre end eller lig med 8 Grundlæggende leder du efter d, så 7 × d 8 <7 × (d+1). I dette tilfælde vil d være lig med 1
Trin 6. Forestil dig værdien af den firkant, hvis område du er ved at begynde at arbejde på
Dit svar, kvadratroden af dit startnummer, er P, som beskriver kvadratets længde med område S (dit startnummer). Dine karakterer for A, B, C repræsenterer cifrene i værdien af P. En anden måde at sige dette på er 10A + B = P (for et tocifret svar), 100A + 10B + C = P (for et tre- cifret svar) osv.
I vores eksempel, (10A+B) ² = P2 = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Husk, at 10A+B repræsenterer vores svar, P, med B i en -positionen og A i positionen tiere. For eksempel med A = 1 og B = 2, så er 10A+B lig med 12. (10A+B) ² er kvadratets samlede areal, mens 100A² er arealet af den største firkant i den, B² er arealet af den mindste firkant i den, og 10A × B er arealet af de to resterende rektangler. Ved at gøre denne lange og indviklede proces finder vi det totale areal af en firkant ved at optage arealerne på firkanterne og rektanglerne indeni.
Trin 7. Træk A² fra S-en.
Reducer et par cifre (Sb) af S. Værdi af S-en Sb tæt på det samlede areal af pladsen, som du lige har brugt til at trække den større indre firkant fra. Resten kan betragtes som tallet N1, som vi fik i trin 4 (N1 = 380 i vores eksempel). N1 er lig med 2 & gange: 10A × B + B² (arealet af de to rektangler plus arealet af den mindre firkant).
Trin 8. Find N1 = 2 × 10A × B + B², som også skrives som N1 = (2 × 10A + B) × B
I vores eksempel kender du allerede N1 (380) og A (2), så du skal finde B. B er højst sandsynligt ikke et helt tal, så du skal virkelig finde det største heltal B, så (2 × 10A + B) × B N1. Så du har: N1 <(2 × 10A+(B+1)) × (B+1).)
Trin 9. Afslut
For at løse denne ligning multipliceres A med 2, forskydes resultatet til positionen tiere (ækvivalent med at gange med 10), sætter B i en -positionen og multiplicerer tallet med B. Med andre ord løses (2 × 10A + B) × B. Det er præcis det, du gør, når du skriver "N_ × _ =" (med N = 2 × A) i nederste højre kvadrant i trin 4. I trin 5 finder du det største heltal B, der svarer til tallet under det, så (2 × 10A + B) × B N1.
Trin 10. Træk området (2 × 10A + B) × B fra det samlede areal
Denne subtraktion resulterer i området S- (10A+B) ², der ikke er blevet beregnet (og som vil blive brugt til at beregne det næste ciffer på samme måde).
Trin 11. For at beregne det næste ciffer, C, gentag processen
Sænk det næste par (Sc) af S for at få N2 til venstre, og find den største C, så du har (2 × 10 × (10A+B)+C) × C N2 (svarer til at skrive to gange det tocifrede tal "AB" efterfulgt af "_ × _ =". Find det største matchende ciffer i emnerne, som giver et svar, der er mindre end eller lig med N2, som før.
Tips
- At flytte et decimaltegn med et multiplum af to cifre i et tal (et multiplum på 100) betyder at flytte et decimalpunkt med et multiplum af et ciffer i sin kvadratrod (et multiplum af 10).
- I dette eksempel kan 1,73 betragtes som en "rest": 780, 14 = 27, 9² + 1,73.
- Denne metode kan bruges til enhver base, ikke kun base 10 (decimal).
- Du kan bruge beregning, der er mere praktisk for dig. Nogle mennesker skriver resultatet over det oprindelige tal.
- En alternativ måde at bruge gentagne brøker på er at følge denne formel: z = (x^2 + y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x +…))). For eksempel at beregne kvadratroden af 780, 14, heltalet, hvis kvadratiske værdi er tættest på 780, 14 er 28, så z = 780, 14, x = 28 og y = -3, 86. Indtastning af værdier og beregning af estimater kun for x + y/(2x) det giver (forenklet) 78207/20800 eller omkring 27, 931 (1); næste valgperiode, 4374188/156607 eller cirka 27, 930986 (5). Hvert udtryk tilføjer omkring 3 decimaler til nøjagtigheden af det tidligere antal decimaler.
