Udfyldelse af firkanter er en nyttig teknik til at hjælpe dig med at sætte kvadratiske ligninger i en pæn form, som gør dem lette at se eller endda løse. Du kan udfylde firkanter for at bygge mere komplekse kvadratiske formler eller endda løse kvadratiske ligninger. Hvis du vil vide, hvordan du gør det, skal du følge disse trin.
Trin
Del 1 af 2: Konvertering af almindelige ligninger til kvadratiske funktioner
Trin 1. Skriv ligningen ned
Antag, at du vil løse følgende ligning: 3x2 - 4x + 5.
Trin 2. Tag koefficienterne for de kvadratiske variabler ud af de to første dele
For at få nummer 3 ud af de to første dele, skal du bare tage tallet 3 ud og sætte det uden for beslagene, dividere hver del med 3. 3x2 divideret med 3 er x2 og 4x divideret med 3 er 4/3x. Så den nye ligning bliver: 3 (x2 - 4/3x) + 5. Tallet 5 forbliver uden for ligningen, fordi det ikke er divideret med tallet 3.
Trin 3. Del den anden del med 2 og firkant den
Den anden del eller det, der er kendt som b i ligningen, er 4/3. Del med to. 4/3 2 eller 4/3 x 1/2, svarer til 2/3. Nu firkantes dette afsnit ved at kvadrere brøkens tæller og nævner. (2/3)2 = 4/9. Skriv det ned.
Trin 4. Tilføj og træk disse dele fra ligningen
Du skal bruge denne ekstra del for at få ligningen tilbage til en perfekt firkant. Du skal dog trække dem fra resten af ligningen for at tilføje dem. Selvom det ser ud til at du går tilbage til din oprindelige ligning. Din ligning ser sådan ud: 3 (x2 - 4/3 x + 4/9 - 4/9) + 5.
Trin 5. Fjern den del, du har trukket fra beslagene
Da du har en koefficient på 3 uden for parenteserne, kan du ikke bare afgive -4/9. Du skal ganges med 3 først. -4/9 x 3 = -12/9 eller -4/3. Hvis du har en koefficient på 1 i afsnittet x2, så kan du springe dette trin over.
Trin 6. Skift delen i parenteserne til en perfekt firkant
Nu er der 3 (x2 -4/3x +4/9) i parentes. Du har allerede forsøgt at få 4/9, hvilket faktisk er en anden måde at fuldføre firkanten på. Så du kan omskrive det som: 3 (x - 2/3)2. Alt du skal gøre er at dele anden halvleg og eliminere den tredje. Du kan kontrollere dit arbejde ved at gange det og komme med de tre første dele af ligningen.
-
3 (x - 2/3)2 =
Gennemfør firkantet trin 6Bullet1 - 3 (x - 2/3) (x -2/3) =
- 3 [(x2 -2/3x -2/3x + 4/9)]
- 3 (x2 - 4/3x + 4/9)
Trin 7. Kombiner konstanterne
Nu er der to konstanter eller tal, der ikke har nogen variabler. Nu har du 3 (x - 2/3)2 - 4/3 + 5. Det eneste du skal gøre er at tilføje -4/3 og 5 for at få 11/3. Du tilføjer dem ved at sidestille nævnerne: -4/3 og 15/3 og derefter optælle tallene, så du får 11 og forlader nævneren 3.
-
-4/3 + 15/3 = 11/3.
Udfør Square Step 7Bullet1
Trin 8. Skriv ligningen i kvadratisk form
Du har gjort. Den sidste ligning er 3 (x - 2/3)2 +11/3. Du kan eliminere koefficienten 3 ved at dividere begge sider af ligningen for at få (x - 2/3)2 +11/9. Du har med succes skrevet ligningen i kvadratisk form, nemlig a (x - h)2 +k, hvor k repræsenterer en konstant.
Del 2 af 2: Løsning af kvadratiske ligninger
Trin 1. Skriv spørgsmålene ned
Antag, at du vil løse følgende ligning: 3x2 + 4x + 5 = 6
Trin 2. Kombiner de eksisterende konstanter og placer dem på venstre side af ligningen
En konstant er et tal, der ikke har en variabel. I dette problem er konstanten 5 til venstre og 6 til højre. Hvis du vil flytte 6 til venstre, skal du trække begge sider af ligningen med 6. Resten er 0 på højre side (6-6) og -1 på venstre side (5-6). Ligningen bliver: 3x2 + 4x - 1 = 0.
Trin 3. Output koefficienten for den kvadratiske variabel
I dette problem er 3 koefficienten x2. For at få nummer 3 skal du bare tage nummer 3 ud og dividere hver del med 3. Så 3x2 3 = x2, 4x 3 = 4/3x og 13 = 1/3. Ligningen bliver: 3 (x2 + 4/3x - 1/3) = 0.
Trin 4. Divider med den konstant, du lige har udvundet
Det betyder, at du kan fjerne koefficienten 3. Da du allerede har delt hver del med 3, kan du fjerne tallet 3 uden at påvirke ligningen. Din ligning bliver til x2 + 4/3x - 1/3 = 0
Trin 5. Del den anden del med 2 og firkant den
Tag derefter den anden del, 4/3 eller del b, og divider den med 2. 4/3 2 eller 4/3 x 1/2, lig med 4/6 eller 2/3. Og 2/3 i kvadrat til 4/9. Når du har kvadreret det, skal du skrive det på venstre og højre side af ligningen, fordi du tilføjer en ny del. Du skal skrive det på begge sider for at balancere det. Ligningen bliver til x2 + 4/3 x + 2/32 - 1/3 = 2/32
Trin 6. Flyt startkonstanten til højre side af ligningen, og tilføj den til firkanten af dit tal
Flyt startkonstanten, -1/3, til højre, hvilket gør den til 1/3. Tilføj firkanten af dit tal, 4/9 eller 2/32. Find en fællesnævner for at tilføje 1/3 og 4/9 ved at gange top- og bundfraktionerne på 1/3 med 3. 1/3 x 3/3 = 3/9. Tilføj nu 3/9 og 4/9 for at få 7/9 på højre side af ligningen. Ligningen bliver: x2 + 4/3 x + 2/32 = 4/9 + 1/3 derefter x2 + 4/3 x + 2/32 = 7/9.
Trin 7. Skriv venstre side af ligningen ned som en perfekt firkant
Da du allerede har brugt formlen til at finde det manglende stykke, er den hårde del sprunget over. Alt du skal gøre er at sætte x og halvdelen af værdien af den anden koefficient i parentes og kvadrere den, for eksempel: (x + 2/3)2. Bemærk, at factoring af en perfekt firkant vil give tre dele: x2 + 4/3 x + 4/9. Ligningen bliver: (x + 2/3)2 = 7/9.
Trin 8. Kvadratrod på begge sider
På venstre side af ligningen er kvadratroden af (x + 2/3)2 er x + 2/3. På højre side af ligningen får du +/- (√7)/3. Kvadratroden af nævneren, 9, er 3, og kvadratroden af 7 er 7. Husk at skrive +/- fordi kvadratroden kan være positiv eller negativ.
Trin 9. Flyt variablerne
For at flytte variablen x skal du bare flytte konstanten 2/3 til højre side af ligningen. Nu har du to mulige svar på x: +/- (√7)/3 - 2/3. Dette er dine to svar. Du kan lade den være i fred eller finde værdien af kvadratroden på 7, hvis du skal skrive et svar uden en kvadratrod.
Tips
- Sørg for at skrive +/- på det relevante sted, ellers får du kun et svar.
- Selv efter at du kender den kvadratiske formel, skal du øve dig på at udfylde firkanten regelmæssigt enten ved at bevise den kvadratiske formel eller løse nogle problemer. På den måde glemmer du ikke metoden, når du har brug for den.
