Pythagoras sætning beskriver længderne på siderne af en højre trekant på en elegant og praktisk måde, så denne sætning bruges stadig meget i dag. Denne sætning siger, at for enhver retvinklet trekant er summen af firkanterne på de ikke-vinklede sider lig med kvadratet i hypotenusen. Med andre ord, for en højre trekant med vinkelrette sider a og b og hypotenuse c, - en2 + b2 = c2.
Pythagoras sætning er en af grundlæggende søjler i elementær geometri. Der er utallige applikationer, der f.eks. Bruger denne sætning for at gøre det let at finde afstanden mellem to punkter på et koordinatplan.
Trin
Metode 1 af 2: Find siderne af en højre trekant
Trin 1. Sørg for, at din trekant er en højre trekant
Pythagoras sætning gælder kun for rigtige trekanter, så før du fortsætter, er det meget vigtigt at sikre dig, at dine trekanter er i overensstemmelse med egenskaberne af rigtige trekanter. Heldigvis er der en faktor, der kan indikere, at din trekant er en rigtig trekant. Din trekant skal have en 90 graders vinkel.
Som et tegn er rigtige trekanter ofte markeret med små firkanter for at markere 90-graders vinkler, uden at bruge buede "kurver". Se efter dette særlige mærke i hjørnet af din trekant
Trin 2. Giv variablerne a, b og c for siderne af din trekant
I Pythagoras sætning repræsenterer variablerne a og b de sider, der mødes ved den højre trekant, mens variablen c repræsenterer hypotenusen - langsiden modsat den rigtige vinkel. Så til at begynde med markerer du kortsiderne i din trekant med variablerne a og b (det er ligegyldigt, hvis du bytter dem), og markerer hypotenusen med variablen c.
Trin 3. Beslut, hvilken side af trekanten du vil løse
Pythagoras sætning giver matematikere mulighed for at finde længden af enhver side af en højre trekant, så længe de kender længderne af de to andre sider. Bestem hvilken side der er ukendt - a, b og/eller c. Hvis længden på en af dine sider er ukendt, er du klar til at gå videre.
- For eksempel ved vi, at længden af hypotenusen i en trekant er 5, og længden af en af de andre sider er 3, men vi er ikke sikre på længden af den tredje side. I dette tilfælde ved vi, at vi leder efter længden på den tredje side, og da vi kender længderne på de to andre, kan vi løse det! Vi vil arbejde på dette problem med følgende trin.
- Hvis du ikke kender længderne på to sider, skal du kende en af siderne for at kunne bruge Pythagoras sætning. Grundlæggende trigonometriske funktioner kan hjælpe dig, hvis du kender den ene side af en trekant, der ikke er skråt.
Trin 4. Sæt de tosidige værdier, du allerede kender, i ligningen
Sæt længderne af siderne af din trekant i ligningen a2 + b2 = c2. Husk at a og b er skrånende sider, mens c er hypotenusen.
I vores eksempel kender vi længden af en af siderne og hypotenusen (3 & 5), så ligningen bliver 3² + b² = 5²
Trin 5. Firkant
For at løse din ligning skal du starte med at kvadrere de kendte sider. Alternativt, hvis du synes det er lettere, kan du lade sidelængderne være firkantede og firkant dem senere.
-
I vores eksempel kvadrerer vi 3 og 5, så vi får
Trin 9. da
Trin 25.. Vi kan skrive ligningen som 9 + b² = 25.
Trin 6. Flyt den ukendte variabel til den anden side af ligningen
Brug om nødvendigt grundlæggende algebraiske operationer til at få den ukendte variabel til at flytte til den anden side af ligningen og firkanten af de to andre variabler til den anden side. Hvis du vil finde længden af hypotenusen, er c allerede på den anden side af ligningen, så du behøver ikke gøre noget for at flytte den.
I vores eksempel er den aktuelle ligning 9 + b² = 25. Hvis du vil flytte b², skal du trække begge sider af ligningen med 9, så resultatet er b² = 16
Trin 7. Kvadratrod på begge sider af ligningen
Nu er kun en variabel kvadreret på den ene side og nummer på den anden. Kvadratrod på begge sider for at finde længden af den ukendte side.
-
I vores eksempel, b² = 16, idet kvadratroden på begge sider giver b = 4. Således kan vi sige, at længden af den ukendte side af trekanten er
Trin 4..
Trin 8. Brug Pythagoras sætning til at finde siderne i en sand trekant
Grunden til at Pythagoras sætning er meget udbredt i dag, er at den kan anvendes i utallige praktiske situationer. Lær at kende rigtige trekanter i det virkelige liv - i enhver situation, hvor to objekter eller lige linjer møder en ret vinkel, og det tredje objekt eller den linje forbinder de to objekter eller linjer diagonalt, så kan du bruge Pythagoras sætning til at finde længden af siden den anden, hvis længden af de to andre sider er kendt.
-
Lad os prøve et reelt eksempel, som er lidt vanskeligere. En stige læner sig op ad en bygning. Afstanden fra bunden af trappen til væggen er 5 meter. Trappens højde når 20 meter. Hvor lang er stigen?
-
5 meter fra væggen og 20 meter høj fortæller os længderne af siderne af trekanten. Da væggen og jorden (antaget) danner en ret vinkel, og stigen står diagonalt mod væggen, kan dette arrangement betragtes som en højre trekant med sidelængder a = 5 og b = 20. Stigens længde er hypotenusen, så værdien af c er ikke kendt. Lad os bruge Pythagoras sætning:
- a² + b² = c²
- (5) ² + (20) ² = c²
- 25 + 400 = c²
- 425 = c²
- rod (425) = c
- c = 20,6. Den omtrentlige længde af stigen er 20,6 meter.
-
Metode 2 af 2: Beregning af afstanden mellem to punkter i X-Y. Flyet
Trin 1. Find to punkter i XY-planet
Pythagoras sætning kan let bruges til at beregne afstanden mellem to punkter i X-Y-planet mellem to punkter. Alt du behøver at vide er x- og y -koordinaterne for de to punkter. Normalt skrives disse koordinater sammen i formen (x, y).
For at finde afstanden mellem disse to punkter vil vi betragte hvert punkt som en af de ikke-rigtige vinkler på en retvinklet trekant. Hvis du gør det, bliver det let at finde længderne på siderne a og b og derefter beregne hypotenusen c, som er afstanden mellem de to punkter
Trin 2. Tegn dine to punkter i billedet
I et almindeligt XY plan, hvert punkt (x, y), x repræsenterer en vandret koordinat og y repræsenterer en lodret koordinat. Du kan finde afstanden mellem de to punkter uden at tegne det, men det giver dig et visuelt billede, som du kan bruge til at se, om dit svar er korrekt.
Trin 3. Find længden af den ikke-skrånende side af din trekant
Brug de to punkter som vinklerne på trekanten ved siden af hypotenusen, og find længderne af siderne a og b i trekanten. Du kan gøre dette ved hjælp af et billede eller ved hjælp af formlen | x1 - x2| for den vandrette side og | y1 - y2| til den lodrette side, med (x1, y1) som det første punkt og (x2, y2) som det andet punkt.
-
Lad vores to punkter være (6, 1) og (3, 5). Længden af den vandrette side af vores trekant er:
- | x1 - x2|
- |3 - 6|
-
| -3 | =
Trin 3.
-
Længden af den lodrette side er:
- | y1 - y2|
- |1 - 5|
-
| -4 | =
Trin 4.
- Så i vores højre trekant er side a = 3 og side b = 4.
Trin 4. Brug Pythagoras sætning til at finde længden af hypotenusen
Afstanden mellem to punkter er længden af hypotenusen i trekanten, hvis to sider du lige har fundet. Brug Pythagoras sætning til at finde hypotenusen, hvor a er længden af den første side og b er længden af den anden side.
-
I vores eksempel bruger vi punkterne (3, 5) og (6, 1), hvis sidelængder er 3 og 4, så vi kan finde hypotenusen som følger:
-
- (3) ²+(4) ² = c²
- c = root (9+16)
- c = rod (25)
-
c = 5. Afstanden mellem (3, 5) og (6, 1) er
Trin 5..
-
Tips
-
Hypotenusen er altid:
- modsat den rigtige vinkel (uden at røre ved den rigtige vinkel)
- længste side i en højre trekant
- kaldet c i Pythagoras sætning
- rod (x) betyder kvadratroden af x.
- Husk altid at tjekke dine svar. Hvis dit svar virker forkert, kan du prøve igen og prøve igen.
- Hvis trekanten ikke er en rigtig trekant, har du brug for yderligere oplysninger, ikke kun længderne på de to andre sider.
- En anden måde at kontrollere - den længste side er modsat den største vinkel, og den korteste side er modsat den mindste vinkel.
- Figurer er nøglen til at nedskrive de korrekte værdier for a, b og c. Hvis du arbejder på et historieproblem, skal du først skrive problemet ned i billedform.
- Hvis du kun kender længden på den ene side, virker Pythagoras sætning ikke. Prøv at bruge trigonometri (sin, cos, tan) eller 30-60-90 / 45-45-90 nøgletal.
