At lære at forenkle algebraiske udtryk er en af nøglerne til at mestre grundlæggende algebra og det mest nyttige værktøj enhver matematiker skal have. Forenkling gør det muligt for matematikere at konvertere komplekse, lange og/eller ulige udtryk til enklere eller lettere tilsvarende udtryk. Grundlæggende forenklingsevner er meget lette at lære - selv for dem der hader matematik. Ved at følge et par enkle trin er det muligt at forenkle mange af de hyppigst anvendte typer algebraiske udtryk uden at bruge nogen særlig viden om matematik. Tjek trin 1 for at komme i gang!
Trin
Forståelse af vigtige begreber
Trin 1. Gruppér lignende udtryk i henhold til deres variabler og beføjelser
I algebra har lignende udtryk den samme variabelkonfiguration med samme effekt. Med andre ord, for at to termer skal være ens, skal de have den samme variabel eller slet ingen variabel, og hver variabel har den samme effekt eller ingen eksponent. Variablernes rækkefølge i termer er ikke vigtig.
For eksempel 3x2 og 4x2 er som udtryk, fordi de begge har en variabel x med kvadratets kraft. Imidlertid x og x2 er ikke lignende udtryk, fordi hvert udtryk har en variabel x med en anden effekt. Næsten det samme, -3yx og 5xz er ikke lignende udtryk, fordi hvert udtryk har en anden variabel.
Trin 2. Faktor ved at skrive tallet som produktet af de to faktorer
Factoring er begrebet at nedskrive et givet tal som et produkt af to faktorer, der multipliceres. Tal kan have mere end et sæt faktorer - for eksempel kan 12 hentes fra 1 × 12, 2 × 6 og 3 × 4, så vi kan sige, at 1, 2, 3, 4, 6 og 12 er faktorer af 12 En anden måde at forestille sig det er, at faktorerne i et tal er de tal, der deler tallet hele.
- For eksempel, hvis vi ville faktor 20, kunne vi skrive det som 4 × 5.
- Bemærk, at variable udtryk også kan indregnes. -20x kan for eksempel skrives som 4 (5x).
- Primtal kan ikke regnes med, fordi de kun kan divideres med dem selv og 1.
Trin 3. Brug forkortelsen KaPaK BoTaK til at huske rækkefølgen af operationer
Nogle gange løser forenkling af et udtryk simpelthen operationen i ligningen, indtil den ikke længere kan fungere. I disse tilfælde er det meget vigtigt at huske rækkefølgen af operationer, så der ikke opstår aritmetiske fejl. Akronymet KaPaK BoTaK hjælper dig med at huske rækkefølgen af operationer - bogstaverne angiver de typer operationer, du skal udføre, i rækkefølgen:
- Ksvigte
- Pløfte op
- Kali
- Bigen
- Ttilføje
- Kreje
Metode 1 af 3: Flet lignende vilkår
Trin 1. Skriv din ligning ned
De enkleste algebraiske ligninger, der kun involverer et par variable udtryk med heltalskoefficienter og ingen brøker, rødder osv., Kan ofte løses i få trin. For de fleste matematiske problemer er det første skridt til at forenkle din ligning at skrive den ned!
Som et eksempelproblem bruger vi udtrykket i de næste par trin 1 + 2x - 3 + 4x.
Trin 2. Identificer lignende stammer
Se derefter efter lignende udtryk i din ligning. Husk, at lignende udtryk har den samme variabel og eksponent.
Lad os f.eks. Identificere lignende udtryk i vores ligning 1 + 2x - 3 + 4x. 2x og 4x har begge den samme variabel med samme effekt (i dette tilfælde har x ingen eksponent). Også 1 og -3 er lignende udtryk, fordi de ikke har nogen variabler. Så i vores ligning, 2x og 4x og 1 og -3 er lignende stammer.
Trin 3. Kombiner lignende udtryk
Nu hvor du har identificeret lignende udtryk, kan du kombinere dem for at forenkle din ligning. Tilføj termerne (eller træk fra i tilfælde af negative termer) for at reducere sæt af termer med den samme variabel og eksponent til et ens udtryk.
-
Lad os tilføje lignende udtryk i vores eksempel.
- 2x + 4x = 6x
- 1 + -3 = - 2
Trin 4. Opret en enklere ligning ud fra de forenklede termer
Når du har kombineret dine lignende udtryk, skal du lave en ligning fra det nye, mindre sæt sæt. Du får en enklere ligning, som har en betegnelse for de forskellige sæt variabler og kræfter i den oprindelige ligning. Denne nye ligning svarer til den oprindelige ligning.
I vores eksempel er vores forenklede udtryk 6x og -2, så vores nye ligning er 6x - 2. Denne enkle ligning svarer til originalen (1 + 2x - 3 + 4x), men kortere og lettere at arbejde med. Det er også lettere at faktorere, som vi ser på nedenfor, hvilket er en anden vigtig forenklingsevne.
Trin 5. Følg rækkefølgen af operationer, når du kombinerer lignende udtryk
I meget enkle ligninger som den, vi arbejdede med i eksemplet ovenfor, er det let at identificere lignende udtryk. Men i mere komplekse ligninger, såsom udtryk, der involverer parentetiske termer, brøker og rødder, er udtryk, der kan kombineres, muligvis ikke tydeligt synlige. I disse tilfælde skal du følge rækkefølgen af operationer, udføre operationer på vilkårene i dit udtryk efter behov, indtil additions- og subtraktionsoperationer er tilbage.
-
Lad os f.eks. Bruge ligningen 5 (3x -1) + x ((2x)/(2)) + 8 - 3x. Det ville være forkert med det samme at betragte 3x og 2x som lignende udtryk og kombinere dem, fordi parenteserne i udtrykket angiver, at vi først skal udføre andre operationer. Først udfører vi aritmetiske operationer på udtrykket i rækkefølgen af operationer for at få termer, som vi kan bruge. Se følgende:
- 5 (3x -1) + x ((2x)/(2)) + 8 - 3x
- 15x - 5 + x (x) + 8 - 3x
- 15x - 5 + x2 + 8 - 3x. Da de eneste tilbageværende operationer er addition og subtraktion, kan vi kombinere lignende udtryk.
- x2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
- x2 + 12x + 3
Metode 2 af 3: Factoring
Trin 1. Identificer den største fælles faktor i udtrykket
Factoring er en måde at forenkle et udtryk ved at fjerne de faktorer, der er ens i alle udtryk i udtrykket. For at starte med skal du finde den største fælles faktor, som alle udtryk har - med andre ord det største tal, der deler alle udtrykkene i udtrykket hel.
-
Lad os bruge 9x. Ligningen2 + 27x - 3. Bemærk, at hvert udtryk i denne ligning er delelig med 3. Da udtrykkene ikke er delelige med et større tal, kan vi sige, at
Trin 3. er vores største fælles faktor.
Trin 2. Opdel udtrykkene i udtrykket med den største fælles faktor
Dernæst dividerer du hvert udtryk i din ligning med den største fælles faktor, du lige har fundet. Kvotienttermerne vil have en mindre koefficient end den oprindelige ligning.
-
Lad os faktorere vores ligning med dens største fælles faktor, 3. For at gøre dette deler vi hvert udtryk med 3.
- 9x2/3 = 3x2
- 27x/3 = 9x
- -3/3 = -1
- Således er vores nye udtryk 3x2 + 9x - 1.
Trin 3. Skriv dit udtryk som produktet af den største fælles faktor ganget med de resterende termer
Dit nye udtryk svarer ikke til dit originale udtryk, så det ville være forkert at sige, at udtrykket er blevet forenklet. For at gøre vores nye udtryk lig med det originale, skal vi inkludere det faktum, at vores udtryk er blevet delt med den største fælles faktor. Omslut dit nye udtryk i parentes, og skriv den største fælles faktor for den originale ligning som udtrykskoefficienten i parentes.
For vores eksempel ligning, 3x2 + 9x - 1, vi kan omslutte udtrykket i parentes og gange det med den største fælles faktor for den originale ligning for at få 3 (3x2 + 9x - 1). Denne ligning svarer til den oprindelige ligning, 9x2 +27x - 3.
Trin 4. Brug factoring til at forenkle brøker
Du kan nu undre dig over, hvorfor factoring bruges, hvis det nye udtryk selv efter fjernelse af den største fælles faktor skal ganges med den faktor igen. Faktisk giver factoring matematikere mulighed for at udføre forskellige tricks for at forenkle udtryk. Et af hans letteste tricks udnytter det faktum, at multiplicering af tæller og nævner af en brøk med det samme tal kan producere ækvivalente brøker. Se følgende:
-
Sig vores første ekspresudtryk, 9x2 + 27x - 3, er kvantificatoren for den større brøk med 3 som tæller. Brøken vil se sådan ud: (9x2 + 27x - 3)/3. Vi kan bruge factoring til at forenkle brøker.
- Lad os erstatte factoringformen af vores originale udtryk med udtrykket i tælleren: (3 (3x2 + 9x - 1))/3
- Bemærk, at både tæller og nævner har en koefficient på 3. Ved at dividere tæller og nævner med 3 får vi: (3x2 + 9x - 1)/1.
- Da enhver brøk med en nævner på 1 svarer til udtrykkene i tælleren, kan vi sige, at vores første brøk kan forenkles til 3x2 + 9x - 1.
Metode 3 af 3: Anvendelse af yderligere forenklingskompetencer
Trin 1. Forenkle brøker ved at dividere med de samme faktorer
Som nævnt ovenfor, hvis tæller og nævner for en ligning har de samme faktorer, kan disse faktorer helt udelades i brøken. Nogle gange vil det kræve faktorisering i tælleren, nævneren eller begge dele (som det er tilfældet i eksemplet ovenfor), mens nogle gange de samme faktorer ofte er indlysende. Bemærk, at det også er muligt at dividere tællerens vilkår med ligningen i nævneren en efter en for at få et enkelt udtryk.
-
Lad os arbejde på et eksempel, der ikke kræver factoring. For fraktioner (5x2 + 10x + 20)/10, kan vi dividere hvert udtryk i tælleren med 10 for at forenkle, selvom koefficienten er 5 i 5x2 er ikke større end 10 og dermed er 10 ikke en faktor.
Hvis vi gør det, får vi ((5x2)/10) + x + 2. Hvis vi ville, kunne vi omskrive det første udtryk som (1/2) x2 så vi får (1/2) x2 +x+2.
Trin 2. Brug de kvadrerede faktorer til at forenkle rødderne
Udtrykket under rodtegnet kaldes rodudtrykket. Dette udtryk kan forenkles ved at identificere kvadratfaktorerne (faktorer, der er kvadrater med heltal) og udføre kvadratrodsoperationen separat for at fjerne dem fra under kvadratrodstegnet.
-
Lad os lave et enkelt eksempel - (90). Hvis vi tænker på 90 som produktet af dets to faktorer, 9 og 10, kan vi tage kvadratroden af 9, som er heltalet 3 og fjerne det fra det radikale tegn. Med andre ord:
- √(90)
- √(9 × 10)
- (√(9) × √(10))
- 3 × √(10)
- 3√(10)
Trin 3. Tilføj eksponenter ved multiplikation af to eksponenter; trække ved deling
Nogle algebraiske udtryk kræver multiplikation eller opdeling af magttermer. I stedet for at beregne eller dividere hver eksponent manuelt, skal du blot tilføje eksponenterne ved multiplikation og trække fra, når du deler for at spare tid. Dette koncept kan også bruges til at forenkle variable udtryk.
-
Lad os f.eks. Bruge udtrykket 6x3 × 8x4 + (x17/x15). Under alle omstændigheder, hvor multiplikation eller division af eksponenter er påkrævet, trækker vi henholdsvis eller tilføjer eksponenter for hurtigt at finde det enkle udtryk. Se følgende:
- 6x3 × 8x4 + (x17/x15)
- (6 × 8) x3 + 4 + (x17 - 15)
- 48x7 +x2
-
For en forklaring på, hvordan det fungerer, se nedenfor:
- Multiplicering af udtryk i eksponenter er faktisk som at multiplicere termer ikke i lange eksponenter. For eksempel fordi x3 = x × x × x og x 5 = x × x × x × x × x, x3 × x5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x) eller x8.
- Næsten det samme er at dele eksponenter som at dele termer, ikke lange eksponenter. x5/x3 = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Da hvert udtryk i tælleren kan overstreges ved at finde det samme udtryk i nævneren, er der kun to x'er tilbage i tælleren og intet tilbage i bunden, hvilket giver svaret x2.
Tips
- Husk altid, at du skal forestille dig, at disse tal har positive og negative tegn. Mange mennesker stopper med at tænke over, hvilket tegn jeg skal sætte her?
- Spørg om hjælp, hvis du har brug for det!
- Forenkling af algebraiske udtryk er ikke let, men når du forstår det, vil du bruge det resten af dit liv.
Advarsel
- Se altid efter lignende stammer og lad dig ikke narre af rang.
- Sørg for, at du ikke tilføjer tal, beføjelser eller operationer, der ikke skulle være utilsigtet.
