Hver funktion har to variabler, nemlig den uafhængige variabel og den afhængige variabel. Bogstaveligt talt værdien af den afhængige variabel "afhænger" af den uafhængige variabel. For eksempel i funktionen y = f (x) = 2 x + y er x den uafhængige variabel og y er den afhængige variabel (med andre ord, y er en funktion af x). Gyldige værdier for den kendte variabel x kaldes "oprindelsesdomæner". Gyldige værdier for den kendte y -variabel kaldes "resultatintervallet".
Trin
Del 1 af 3: Find domænet for en funktion
Trin 1. Beslut, hvilken type funktion du skal udføre
Funktionens domæne er alle x-værdier (vandret akse), der returnerer gyldige y-værdier. Funktionens ligning kan være en kvadratisk, en brøkdel eller indeholde en rod. For at beregne funktionsdomænet er det første du skal gøre at undersøge variablerne i ligningen.
- En kvadratisk funktion har formen ax2 + bx + c: f (x) = 2x2 + 3x + 4
- Eksempler på funktioner med brøker inkluderer: f (x) = (1/x), f (x) = (x+1)/(x - 1), og andre.
- Funktioner, der har rødder, omfatter: f (x) = x, f (x) = (x2 + 1), f (x) = -x og så videre.
Trin 2. Skriv domænet ned med korrekt notation
At skrive domænet for en funktion indebærer brug af firkantede parenteser [,] samt parenteser (,). Brug firkantede parenteser [,] hvis tallet tilhører domænet, og brug parenteser (,) hvis domænet ikke indeholder tallet. Bogstavet U betegner en forening, der forbinder dele af domænet, der kan adskilles med en afstand.
- For eksempel inkluderer domænet [-2, 10) U (10, 2] -2 og 2, men inkluderer ikke tallet 10.
- Brug altid parenteser (), hvis du bruger uendeligt symbol,.
Trin 3. Tegn en graf over den andengradsligning
Kvadratiske ligninger producerer en parabolsk graf, der åbner op eller ned. I betragtning af at parabolen vil fortsætte uendeligt på x-aksen, er domænet for de fleste kvadratiske ligninger alle reelle tal. Sagt på en anden måde inkluderer en kvadratisk ligning alle x-værdierne på tallinjen, hvilket giver domænet R (symbol for alle reelle tal).
- For at løse funktionen skal du vælge en x-værdi og indtaste den i funktionen. Løsning af en funktion med en x-værdi returnerer en y-værdi. Værdierne for x og y er (x, y) koordinaterne for en graf over funktionen.
- Plot disse koordinater på en graf og gentag processen med en anden x-værdi.
- Ved at tegne nogle af værdierne i denne model får du et overblik over formen på den kvadratiske funktion.
Trin 4. Hvis funktionens ligning er en brøk, skal nævneren være lig med nul
Når man arbejder med brøker, kan man aldrig dividere med nul. Ved at gøre nævneren lig med nul og finde værdien af x, kan du beregne de værdier, der skal udtrækkes fra funktionen.
- For eksempel: Bestem domænet for funktionen f (x) = (x+1)/(x - 1).
- Nævneren for funktionen er (x - 1).
- Gør nævneren lig med nul og beregne værdien af x: x - 1 = 0, x = 1.
- Skriv ned domænet: Funktionens domæne indeholder ikke 1, men inkluderer alle reelle tal undtagen 1; derfor er domænet (-∞, 1) U (1,).
- (-∞, 1) U (1,) kan læses som en samling af alle reelle tal undtagen 1. Symbolet for uendelig,, repræsenterer alle reelle tal. I dette tilfælde er alle reelle tal større end 1 og mindre end 1 inkluderet i domænet.
Trin 5. Hvis ligningen er en rodfunktion, skal rodvariablerne være større end eller lig med nul
Du kan ikke bruge kvadratroden af et negativt tal; derfor skal enhver x-værdi, der fører til et negativt tal, fjernes fra funktionens domæne.
- For eksempel: Find domænet for funktionen f (x) = (x + 3).
- Variablerne i roden er (x + 3).
- Gør værdien større end eller lig med nul: (x + 3) 0.
- Beregn værdien for x: x -3. Løs for x: x -3.
- Funktionens domæne omfatter alle reelle tal større end eller lig med -3; derfor er domænet [-3,).
Del 2 af 3: Find rækkevidden af en kvadratisk ligning
Trin 1. Sørg for, at du har en kvadratisk funktion
Den kvadratiske funktion har formen ax2 + bx + c: f (x) = 2x2 + 3x + 4. Grafen for den kvadratiske funktion er en parabel, der åbner op eller ned. Der er forskellige måder at beregne funktionsområdet på, afhængigt af hvilken funktionstype du arbejder på.
Den nemmeste måde at bestemme rækkevidden af andre funktioner på, f.eks. En rodfunktion eller en brøkfunktion, er at tegne funktionen ved hjælp af en grafregner
Trin 2. Find x-værdien af funktionens toppunkt
Toppunktet i en kvadratisk funktion er parabelens toppunkt. Husk, at formen for den kvadratiske funktion er ax2 + bx + c. For at finde x -koordinaten skal du bruge ligningen x = -b/2a. Ligningen er et derivat af en grundlæggende kvadratisk funktion, der repræsenterer en ligning med en nulhældning/hældning (ved toppunktet i grafen er funktionens gradient nul).
- Find for eksempel rækkevidden 3x2 + 6x -2.
- Beregn toppunktets x -koordinat: x = -b/2a = -6/(2*3) = -1
Trin 3. Beregn y-værdien af funktionens toppunkt
Sæt x-koordinaten i funktionen for at beregne den tilsvarende y-værdi af toppunktet. Denne y-værdi angiver grænsen for funktionsområdet.
- Beregn y-koordinaten: y = 3x2 + 6x-2 = 3 (-1)2 + 6(-1) -2 = -5.
- Toppunktet for denne funktion er (-1, -5).
Trin 4. Bestem parabolens retning ved at tilslutte mindst en x-værdi mere
Vælg en anden x-værdi, og tilslut den til funktionen for at beregne den relevante y-værdi. Hvis y-værdien er over toppunktet, fortsætter parabolen til +∞. Hvis y -værdien er under toppunktet, fortsætter parabolen til -∞.
- Brug x -værdi -2: y = 3x2 + 6x-2 = y = 3 (-2)2 + 6(-2) – 2 = 12 -12 -2 = -2.
- Denne beregning returnerer koordinaterne (-2, -2).
- Disse koordinater viser dig, at parabolen fortsætter over toppunktet (-1, -5); derfor omfatter området alle y -værdier højere end -5.
- Intervallet for denne funktion er [-5,).
Trin 5. Skriv området ned med korrekt notation
Ligesom domæner er områder skrevet med den samme notation. Brug firkantede parenteser [,] hvis tallet er inden for området, og brug parenteser (,) hvis området ikke indeholder tallet. Bogstavet U angiver en forening, der forbinder dele af området, der kan adskilles med en afstand.
- For eksempel omfatter området [-2, 10) U (10, 2] -2 og 2, men inkluderer ikke tallet 10.
- Brug altid parenteser, hvis du bruger uendeligt symbolet,.
Del 3 af 3: Find området fra grafen over en funktion
Trin 1. Tegn funktionen
Ofte er den nemmeste måde at bestemme rækkevidden af en funktion at tegne den. Mange rodfunktioner har et område (-∞, 0] eller [0, +∞), fordi toppunktet af den vandrette parabel (sideværts parabel) er på den vandrette x-akse. I dette tilfælde inkluderer funktionen alle positive y-værdier, hvis parabolen åbner, eller alle negative y-værdier, hvis parabolen åbner nedad. Brøkfunktioner vil have asymptoter (linjer, der aldrig skæres af en lige linje / kurve, men nærmer sig i det uendelige), der definerer funktionsområdet.
- Nogle rodfunktioner starter over eller under x-aksen. I dette tilfælde bestemmes området af det nummer, hvor rodfunktionen starter. Hvis parabolen starter ved y = -4 og går op, er intervallet [-4, +∞).
- Den nemmeste måde at tegne en funktion på er at bruge et grafprogram eller en grafregner.
- Hvis du ikke har en grafisk lommeregner, kan du tegne en grov skitse af grafen ved at tilslutte x-værdien til funktionen og få den relevante y-værdi. Tegn disse koordinater på en graf for at få en idé om, hvordan grafen ser ud.
Trin 2. Find den mindste værdi af funktionen
Umiddelbart efter at du har tegnet funktionen, skal du klart kunne se grafens laveste punkt. Hvis der ikke er nogen klar minimumsværdi, skal du vide, at nogle funktioner fortsætter ved -∞ (uendeligt).
En brøkfunktion vil omfatte alle punkter undtagen punkterne på asymptoterne. Funktionen har et område som (-∞, 6) U (6,)
Trin 3. Bestem funktionens maksimale værdi
Igen, efter at have tegnet grafen, skulle du være i stand til at identificere funktionens maksimale punkt. Nogle funktioner fortsætter ved +∞ og har derfor ikke en minimumsværdi.
Trin 4. Skriv området med korrekt notation
Ligesom domæner er områder skrevet med den samme notation. Brug firkantede parenteser [,] hvis tallet er inden for området, og brug parenteser (,) hvis området ikke indeholder tallet. Bogstavet U angiver en forening, der forbinder dele af området, der kan adskilles med en afstand.
- For eksempel omfatter området [-2, 10) U (10, 2] -2 og 2, men inkluderer ikke tallet 10.
- Brug altid parenteser, hvis du bruger uendeligt symbolet,.
