En vektor er en fysisk størrelse, der har både størrelse og retning (f.eks. Hastighed, acceleration og forskydning), i modsætning til en skalar, der kun består af størrelse (f.eks. Hastighed, afstand eller energi). Hvis der kan tilføjes skalarer ved at tilføje størrelser (f.eks. 5 kJ arbejde plus 6 kJ arbejde er lig med 11 kJ arbejde), er vektorer lidt vanskelige at tilføje eller trække fra. Se trin 1 nedenfor for at lære nogle måder at tilføje eller fratrække vektorer.
Trin
Metode 1 af 3: Tilføjelse og subtraktion af vektorer, hvis komponenter kendes
Trin 1. Skriv ned vektorens dimensionelle komponenter i vektornotation
Da vektorer har størrelse og retning, kan de normalt opdeles i dele baseret på x-, y- og/eller z -dimensionerne. Disse dimensioner er normalt skrevet i en lignende notation for at beskrive et punkt i et koordinatsystem (f.eks. Og andre). Hvis du kender denne del, er tilføjelse eller subtraktion af vektorer meget let, bare tilføj eller træk deres x-, y- og z -koordinater.
- Bemærk, om vektorens dimensioner er 1, 2 eller 3. Således kan vektoren have komponenter x, x og y eller x, y og z. Vores følgende eksempel bruger en 3-dimensionel vektor, men processen er som en 1- eller 2-dimensionel vektor.
- Antag, at vi har to tredimensionelle vektorer, vektor A og vektor B. Vi kan skrive disse vektorer ved hjælp af vektornotation som A = og B =, hvor a1 og a2 er x-komponenter, b1 og b2 er y-komponenter, og c1 og c2 er komponenter z.
Trin 2. Tilføj de to vektorer ved at tilføje deres komponenter
Hvis de to komponenter i en vektor er kendt, kan du tilføje vektorerne ved at tilføje komponenterne i hver. Med andre ord, tilføj x-komponenten i den første vektor til x-komponenten i den anden vektor, og gør det samme for y og z. Svaret, du får ved at optage x, y og z -komponenterne i disse vektorer, er x-, y- og z -komponenterne i din nye vektor.
- Generelt set A+B =.
- Lad os tilføje to vektorer A og B. A = og B =. A + B =, eller.
Trin 3. For at trække begge vektorer fra, trækkes deres komponenter fra
Som vi vil diskutere senere, kan subtraktion af en vektor fra en anden betragtes som tilføjelse af dens gensidige vektorer. Hvis komponenterne i begge vektorer er kendte, er det muligt at trække en vektor fra en anden ved at trække den første komponent fra den anden komponent (eller ved at tilføje de negative komponenter i begge).
- Generelt set A-B =
- Lad os trække to vektorer A og B. A = og B =. A - B =, eller.
Metode 2 af 3: Tilføjelse og subtraktion med billeder ved hjælp af hoved og hale metode
Trin 1. Symboliser vektoren ved at tegne den ved hjælp af hoved og hale
Da vektorer har både størrelse og retning, kan vi sige, at de har en hale og et hoved. Med andre ord har en vektor et udgangspunkt og et slutpunkt, der angiver retningen af vektoren, hvis afstand fra startpunktet er lig med størrelsen af vektoren. Når den tegnes, tager vektoren form som en pil. Spidsen af pilen er vektorens hoved, og enden af vektorlinjen er halen.
Hvis du opretter en vektortegning med dimensioner, skal du måle og tegne alle hjørner nøjagtigt. Billedets forkerte vinkel vil påvirke det resulterende resultat, når to vektorer tilføjes eller trækkes fra ved hjælp af denne metode
Trin 2. For at tilføje, tegne eller flytte den anden vektor, så halen møder hovedet på den første vektor
Dette kaldes at kombinere hoved til hale vektorer. Hvis du bare tilføjer to vektorer, er det her, hvad du skal gøre, før du finder den resulterende vektor.
Bemærk, at den rækkefølge, du tilføjer vektorer, ikke betyder noget, forudsat at du bruger det samme udgangspunkt. Vektor A + Vektor B = Vektor B + Veltor A
Trin 3. For at trække fra, tilføj et negativt tegn til vektoren
Det er meget enkelt at reducere vektorer ved hjælp af billeder. Vend vektorretningen, men hold størrelsen den samme, og tilføj dit vektorhoved og hale som normalt. Med andre ord, for at trække en vektor fra, skal du dreje vektoren 180o og tilføj.
Trin 4. Hvis du tilføjer eller fratrækker mere end to vektorer, skal du kombinere alle vektorer i en hoved-til-hale rækkefølge
Rækkefølgen for sammenlægning er ligegyldig. Denne metode kan bruges uanset antallet af vektorer.
Trin 5. Tegn en ny vektor fra halen på den første vektor til hovedet på den sidste vektor
Uanset om du tilføjer/subtraherer to vektorer eller hundrede, er den vektor, der strækker sig fra dit oprindelige startpunkt (halen på den første vektor) til slutpunktet for din sidste vektor (hovedet på din sidste vektor) den resulterende vektor eller summen af alle dine vektorer. Bemærk, at denne vektor er nøjagtig den samme som vektoren opnået ved at optage alle x-, y- og/eller z -komponenterne.
- Hvis du tegner alle dine vektorer i størrelse, ved at måle alle vinklerne korrekt, kan du bestemme størrelsen af den resulterende vektor ved at måle længden. Du kan også måle vinklen mellem den resulterende og en hvilken som helst vektor vandret eller lodret for at bestemme dens retning.
- Hvis du ikke tegner alle dine vektorer i størrelse, skal du muligvis beregne størrelsen af det resulterende ved hjælp af trigonometri. Måske hjælper sinus- og kosinusreglerne. Hvis du tilføjer mere end to vektorer, er det nyttigt at tilføje den første vektor med den anden og derefter tilføje den resulterende af den anden til den tredje osv. Se de følgende afsnit for mere information.
Trin 6. Tegn din resulterende vektor ved hjælp af dens størrelse og retning
En vektor er defineret af dens længde og retning. Som ovenfor, forudsat at du tegnede din vektor nøjagtigt, er din nye vektors størrelse dens længde og dens retning er vinklen i forhold til den lodrette eller vandrette retning. Brug de enhedsvektorer, du tilføjer eller trækker fra, til at bestemme enhederne for størrelsen af din resulterende vektor.
For eksempel, hvis de tilføjede vektorer repræsenterer hastighed i ms-1, så kan den resulterende vektor defineres som "hastighed x ms-1 mod y o til den vandrette retning.
Metode 3 af 3: Tilføjelse og subtraktion af vektorer ved at specificere vektordimensionelle komponenter
Trin 1. Brug trigonometri til at bestemme komponenterne i en vektor
For at finde komponenterne i en vektor skal du normalt kende dens størrelse og retning i forhold til den vandrette eller lodrette retning og forstå trigonometri. Hvis vi antager en todimensionel vektor, skal du først tænke på din vektor som hypotenusen i en højre trekant, hvis to sider er parallelle med x- og y-retningerne. Disse to sider kan betragtes som komponenter i en hoved-til-hale-vektor, der lægger op til at danne din vektor.
- Længderne på begge sider er lig med x- og y -komponenterne i din vektor og kan beregnes ved hjælp af trigonometri. Hvis x er en vektorstørrelse, er siden ved siden af vektorvinklen (i forhold til vandret, lodret og andre retninger) xcos (θ), mens den modsatte side er xsin (θ).
- Det er også meget vigtigt at notere retningen af dine komponenter. Hvis komponenten peger på en negativ koordinat, får den et negativt tegn. For eksempel i et 2-dimensionelt plan, hvis en komponent peger til venstre eller ned, er den negativ.
- Lad os f.eks. Sige, at vi har en vektor med størrelse 3 og retning 135o i forhold til vandret. Med disse oplysninger kan vi bestemme, at x -komponenten er 3cos (135) = - 2, 12 og y -komponenten er 3sin (135) = 2, 12
Trin 2. Tilføj eller træk to eller flere relaterede vektorer til
Når du har fundet komponenterne i alle dine vektorer, skal du tilføje dem for at finde komponenterne i din resulterende vektor. Saml først alle størrelserne af de vandrette komponenter (som er parallelle med x-retningen). Adskil hver størrelse af de lodrette komponenter separat (som er parallelle med y-retningen). Hvis en komponent er negativ (-), trækkes dens størrelse, ikke tilføjet. Det svar, du får, er komponenten i din resulterende vektor.
For eksempel tilføjes vektoren fra det foregående trin,, til vektoren. I dette tilfælde bliver den resulterende vektor eller
Trin 3. Beregn størrelsen af den resulterende vektor ved hjælp af Pythagoras sætning
Pythagoras sætning c2= a2+b2, bruges til at finde længden af siden af en højre trekant. Da trekanten dannet af vores resulterende vektor og dens komponenter er en rigtig trekant, kan vi bruge den til at finde vektorens længde og størrelse. Med c som størrelsen på den resulterende vektor, som du leder efter, antag, at a er størrelsen af x -komponenten, og b er størrelsen af y -komponenten. Løs ved hjælp af algebra.
-
For at finde størrelsen på vektoren, hvis komponenter vi har ledt efter i det foregående trin, skal du bruge Pythagoras sætning. Løs som følger:
- c2=(3, 66)2+(-6, 88)2
- c2=13, 40+47, 33
- c = √60, 73 = 7, 79
Trin 4. Beregn den resulterende retning ved hjælp af Tangent -funktionen
Find endelig den resulterende vektor af retningen. Brug formlen = tan-1(b/a), hvor er størrelsen på den vinkel, der dannes i x eller vandret retning, b er størrelsen på y -komponenten, og a er størrelsen på x -komponenten.
-
For at finde retningen af vores vektor, brug = tan-1(b/a).
- = brun-1(-6, 88/3, 66)
- = brun-1(-1, 88)
- = -61, 99o
Trin 5. Tegn din resulterende vektor i henhold til dens størrelse og retning
Som skrevet ovenfor er vektorer defineret af deres størrelse og retning. Sørg for at bruge de relevante enheder til din vektorstørrelse.
For eksempel, hvis vores vektoreksempel repræsenterer en kraft (i Newton), så kan vi skrive den "kraft 7,79 N med -61,99 o til vandret ".
Tips
- Vektor er forskellig fra stor.
- Vektorer med samme retning kan tilføjes eller trækkes ved at tilføje eller subtrahere deres størrelser. hvis du opsummere to vektorer der er modsatte, deres størrelser trækkes, ikke tilføjet.
- Vektorer repræsenteret i formen x i + y j + z k kan tilføjes eller subtraheres ved at tilføje eller subtrahere koefficienterne for de tre enhedsvektorer. Svaret er også i form af i, j og k.
- Du kan finde størrelsen på en tredimensionel vektor ved hjælp af formlen a2= b2+c2+d2 hvor a er vektorens størrelse, og b, c og d er komponenterne i hver retning.
- Kolonnevektorer kan tilføjes og fratrækkes ved at tilføje eller fratrække værdierne for hver række.
