Selvom det til tider kan virke skræmmende, er kvadratrodsproblemet faktisk ikke så svært at løse. Enkle kvadratrodsproblemer kan normalt løses lige så let som grundlæggende multiplikations- og divisionsproblemer. For mere komplekse spørgsmål kræver det lidt ekstra indsats. Men med den rigtige tilgang kan ethvert vanskeligt problem løses. Gennem denne artikel hjælper vi dig med at løse kvadratrodsproblemer i et par enkle trin.
Trin
Del 1 af 3: Forståelse af firkanter og firkantede rødder
Trin 1. Kvadraten er tallet ganget med selve tallet
For at forstå kvadratroden er det godt at forstå kvadratets betydning først. Kort sagt er en firkant et tal ganget med selve tallet. For eksempel er 3 i kvadrat 3 gange 3 = 9 og 9 i firkant er 9 gange 9 = 81. Kvadratet repræsenteres af de små 2 øverst til højre i tallet i kvadrat - sådan her: 32, 92, 1002, etc.
Prøv at kvadrere nogle andre tal for at teste dette koncept. Husk, at kvadrering af et tal multiplicerer et tal med sig selv. Du kan endda kvadrere negative tal. Resultatet vil altid være et positivt tal. For eksempel -82 = -8 × -8 = 64.
Trin 2. Kvadratroden er kvadratets gensidige
Symbolet for kvadratroden (√, også kendt som det "radikale" symbol) er i det væsentlige det modsatte af symbolet 2. Når du finder en radikal, skal du spørge dig selv: hvilket tal, hvis det er kvadratisk, ville resultere i tallet inde i radikalen? For eksempel, hvis du kigger på √ (9), finder du det tal, der når kvadreret er ni. Således er svaret "tre", fordi 32 = 9.
-
Som et andet eksempel, lad os prøve at finde kvadratroden af 25 (√ (25)). Det vil sige, at vi leder efter et tal, at når det er kvadratisk, er resultatet 25. Fordi 52 = 5 × 5 = 25, derefter (25) =
Trin 5..
-
Kvadratroden kan også betragtes som at "fortryde" firkanten. For eksempel, hvis vi vil finde (64), kvadratroden af 64, så tænk på 64 som 82. Da kvadratrodssymbolet i det væsentlige "negerer" firkantssymbolet, er derfor (64) = (82) =
Trin 8..
Trin 3. Kend forskellen mellem perfekte og uperfekte firkanter
Indtil nu var resultaterne af vores kvadratrodsberegninger hele tal. Spørgsmålene, som du vil møde senere, vil ikke være så lette, der vil være spørgsmål med decimaltal svar med et par cifre bag kommaet. Tal, der er afrundet efter kvadrering (det vil sige ikke brøk- eller decimaltal) omtales også som "perfekte firkanter". Alle de tidligere eksempler (9, 25 og 64) er perfekte firkanter, for hvis de er kvadreret, er resultatet et helt tal (3, 5 og 8).
På den anden side er tal, der ikke afrundes efter at være blevet kvadreret, "ufuldkomne firkanter". Normalt er resultatet efter kvadrering et brøk- eller decimaltal. Nogle gange ser selv tallene meget komplicerede ud, som (13) = 3, 605551275464…
Trin 4. Husk firkanten af tallene 1-12
Som du allerede ved, er det meget let at kvadrere et perfekt kvadratnummer. At huske firkanterne på tallene 1-12 kan være meget nyttigt, fordi disse tal vil forekomme meget i problemet. Således sparer du tid, mens du arbejder med spørgsmålene. De første 12 firkantede tal er::
-
12 = 1 × 1 =
Trin 1.
-
22 = 2 × 2 =
Trin 4.
-
32 = 3 × 3 =
Trin 9.
-
42 = 4 × 4 =
Trin 16.
-
52 = 5 × 5 =
Trin 25.
- 62 = 6 × 6 = 36
- 72 = 7 × 7 = 49
- 82 = 8 × 8 = 64
- 92 = 9 × 9 = 81
- 102 = 10 × 10 = 100
- 112 = 11 × 11 = 121
- 122 = 12 × 12 = 144
Trin 5. Forenkle kvadratroden ved at fjerne de perfekte firkanter
Det kan være svært at finde kvadratroden af et ufuldkommen kvadratnummer, især hvis du ikke bruger en lommeregner. Det antal, der skal kvadreres, kan imidlertid forenkles for at gøre det lettere at beregne. For at gøre dette skal du blot adskille tallet inde i radikalen i flere faktorer, derefter fjerne kvadratroden af de perfekte kvadratnumre og skrive svaret uden for radikalen. Denne metode er ganske let at gøre - for at give dig en bedre forståelse, her er mere forklaring:
- Lad os sige, at vi ønsker at beregne kvadratroden på 900. Så del blot 900 i dens faktorer. "Faktorer" er tal, der kan multipliceres sammen for at producere et andet tal. For eksempel kan tallet 6 opnås ved at gange og 1 × 6 og 2 × 3, så faktorerne 6 er 1, 2, 3 og 6.
- Med det princip i tankerne, lad os opdele 900 i dets faktorer. Til at starte med skriver vi 900 som 9 × 100. Da 9 er en perfekt firkant, kan vi tage kvadratroden på 100 separat. (9 × 100) = (9) × (100) = 3 × (100). Med andre ord, (900) = 3√(100).
-
Vi kan forenkle det yderligere ved at adskille 100 i dets faktorer, nemlig 25 og 4. (100) = (25 × 4) = (25) × (4) = 5 × 2 = 10. Kan derfor beregnes (900) = 3 (10) =
Trin 30..
Trin 6. Brug et imaginært tal til kvadratroden af et negativt tal
Tænk, hvilket tal hvis resultatet er -16 i kvadrat? Svaret, nej. Alle tal i kvadrat er resultatet altid positivt, fordi det er negativt (-), når det multipliceres med negativt er resultatet positivt (+). Så for at kvadrere et negativt tal skal vi erstatte det negative tal med et imaginært tal (normalt i form af bogstaver eller symboler). F.eks. Bruges variablen "i" generelt til kvadratroden på -1. Et imaginært tal er altid ved kvadratroden af et negativt tal.
Det skal bemærkes, at selvom imaginære tal aldrig repræsenteres af tal, kan de stadig behandles som tal på forskellige måder. F.eks. Kan kvadratroden af et negativt tal kvadreres for at fjerne kvadratroden. For eksempel, jeg2 = - 1
Del 2 af 3: Brug algoritmen Long Division Style
Trin 1. Løs kvadratrodsproblemer som problemer med lang division
Selvom tidskrævende, vanskelige kvadratrodsproblemer kan løses uden en lommeregner. For at gøre dette vil vi bruge en metode (eller algoritme), der ligner division med lang stak.
- Start med at skrive kvadratrodeproblemet, som du ville med et langt opdelingsproblem. Find et eksempel på roden til 6, 45, som ikke er et helt tal. Først skriver vi det radikale symbol (√), derefter under det skriver vi det tal, vi vil tage kvadratet af. Træk derefter en streg over tallene, ligesom lang stabelopdeling. Nu ser "√" -symbolet ud som om det har en hale med tallet 6.45 i bunden.
- Vi skriver tallene over problemet, så sørg for at efterlade et tomt mellemrum.
Trin 2. Gruppér cifrene i tallet i par
Gruppér først cifrene i tallet under radikalen i par, startende med decimalpunktet. Lav en slags markør (punktum, komma, linje osv.) Mellem par for let sporing.
I eksempelproblemet vil 6, 45 blive opdelt i 6-, 45-00. Husk, at der er "resterende" cifre til venstre - dette er ikke et problem.
Trin 3. Find det største tal, hvis kvadratværdi er mindre end eller lig med den første gruppe
Start med det første nummer i gruppen til venstre. Vælg det største tal, hvis kvadratværdi er mindre eller lig i gruppen. For eksempel, hvis gruppen er 37, skal du vælge 6 fordi 62 = 36 <37 men 72 = 49> 37. Skriv dette tal over den første gruppe. Dette nummer er det første ciffer i dit svar.
-
I eksempelproblemet er den første gruppe på 6-, 45-00 6. Det største tal, der er mindre end eller lig med 6, når kvadreret er
Trin 2. - 22 = 4. Skriv tallet "2" over 6, og halen er en radikal.
Trin 4. Gang det tal, du lige har skrevet ned, sænk det derefter, og træk det derefter fra
Tag det første ciffer i dit svar (skrevet over radikalen) og gang det. Skriv svaret under den første gruppe og træk for at finde forskellen. Slip den næste gruppe til højre for den forskel, du lige har beregnet. Skriv endelig det sidste ciffer, hvor du multiplicerer det første ciffer i dit svar til venstre, og lad et tomt mellemrum stå til højre.
I eksempelproblemet er antallet, der fordobles 2 (det første ciffer i det forrige svar). 2 × 2 = 4. Træk derefter 4 x 6 (fra den første gruppe). 6 - 4 er resultatet 2. Derefter bringes den næste gruppe (45) ned, og vi får 245. Skriv til sidst nummeret 4 igen til venstre og efterlad lidt plads til højre, sådan her: 4_
Trin 5. Udfyld det tomme rum
Tilføj cifrene til højre for det tal, du skrev til venstre. Vælg det ciffer, der giver den største værdi, når det multipliceres med dette nye tal, men stadig er mindre end eller lig med det "afledte tal". For eksempel, hvis det “afledte tal” er 1700, og tallet til venstre er 40_, er tallet, der skal indtastes, “4”, fordi 404 × 4 = 1616 <1700, mens 405 × 5 = 2025. Nummeret findes i dette trin er det andet ciffer i dit svar, så skriv det over det radikale symbol.
-
I eksempelproblemet vil vi lede efter tallet ud for 4_ × _ hvis svar er det største tal, men er mindre end eller lig med 245. Svaret er
Trin 5.. 45 × 5 = 225, mens 46 × 6 = 276.
Trin 6. Fortsæt med at bruge "blank mellemrum" -numrene til at finde dit svar
Fortsæt det lange stablingsdelingsmønster, indtil forskellen mellem subtraktionerne af de tal, der afledes, er nul, eller der er opnået et ret præcist tal. Når du er færdig, udgør de tal, du plejede at udfylde felterne i hvert trin (plus det allerførste tal, du brugte) hvert ciffer i dit svar.
-
I eksemplet problem trækkes 245 med 220 for at få 20. Dernæst sænker vi den næste gruppe cifre, 00 og får 2000. Multiplicér tallet over det radikale symbol, og vi får 25 × 2 = 50. For at udfylde i emnerne ved 50_ × _ =/<2, 000 får vi tallet
Trin 3.. Nu har vi "253" over det radikale symbol - gentag denne proces igen, og få 9 i det næste ciffer.
Trin 7. Fjern decimaltegnet fra oprindelsen
For at få det endelige svar skal du sætte decimaltegnet i den korrekte position. Det er let - bare sæt decimaltegnet på linje med decimaltegnet under det radikale symbol. For eksempel er tallet under radikalen 49, 8, så sæt et decimalpunkt mellem tallene over 8 og 9.
I eksempelproblemet, hvis tallet under radikalen er 6, 45, vil decimalpunktet være på linje mellem cifrene 2 og 5. Det betyder, at det endelige svar er 2, 539.
Del 3 af 3: Skøn hurtigt ufuldkomne firkanter
Trin 1. Find den uperfekte firkant ved hjælp af tilnærmelse
Når du har lagt perfekte firkanter udenad, vil det være meget lettere at finde ufuldkomne firkanter. Tricket er at finde en perfekt firkant før og efter det nummer, du leder efter. Bestem derefter, hvilken af de to perfekte firkanter der er tættest på det nummer, du leder efter.
For eksempel vil vi finde kvadratroden på 40. Det perfekte kvadratnummer før og efter 40 er 62 og 72, som er 36 og 49. Da 40 er større end 36 og mindre end 49, skal kvadratroden på 40 være mellem 6 og 7. Tallet 40 er tættere på 36 end 49, så kvadratroden på 40 er tættere på 6. Her er et par trin for at finde et præcist svar.
Trin 2. Estimere kvadratroden til et ciffer efter kommaet
Når du har bestemt to perfekte kvadratiske tal før og efter det tal, du leder efter, er resten processen med at finde det nummer bag kommaet, der er tættest på svaret. Start med det anslåede etcifrede tal efter kommaet. Denne proces vil gentage sig, indtil du får et svar med den nøjagtighed, du ønsker.
I eksempelproblemet er den rimelige tilnærmelse af kvadratroden på 40 6, 4, fordi svaret sandsynligvis er tættere på 6 end 7.
Trin 3. Gang dit estimerede antal med selve tallet
Med andre ord, firkant dit omtrentlige antal. Hvis du er heldig, bliver resultatet nummeret i problemet. Hvis ikke, skal du fortsætte med at tilføje eller trække tallene efter kommaet, indtil du finder den firkant, der er tættest på tallet i problemet.
- Gang 6, 4 med 6, 4 for at få 6, 4 × 6, 4 = 40, 96, som er lidt over 40.
- Da det første eksperiment var overflødigt, trækkes din tilnærmelse med et decimal, som er 6, 3 × 6, 3 = 39, 69. Dette resultat er lidt under tallet i problemet. Det betyder, at kvadratroden på 40 er mellem 6, 3 og 6, 4. Da 39.69 er tættere på 40, er kvadratroden på 40 også tættere på 6, 3.
Trin 4. Videresend prognoser efter behov
Brug dit svar, hvis du synes, det er præcist nok. Men hvis ikke, skal du bare fortsætte det omtrentlige mønster ovenfor, indtil du finder et svar med tre eller fire cifre efter kommaet - alligevel, indtil du når det ønskede nøjagtighedsniveau.
