En rationel ligning er en brøkdel med en eller flere variabler i tælleren eller nævneren. En rationel ligning er enhver brøkdel, der involverer mindst en rationel ligning. Ligesom almindelige algebraiske ligninger løses rationelle ligninger ved at udføre den samme operation på begge sider af ligningen, indtil variablerne kan overføres til hver side af ligningen. To specielle teknikker, krydsmultiplikation og at finde den mindst fællesnævner, er meget nyttige måder at flytte variabler på og løse rationelle ligninger.
Trin
Metode 1 af 2: Cross Multiplikation
Trin 1. Om nødvendigt omarrangerer du din ligning for at få en brøkdel på den ene side af ligningen
Korsmultiplikation er en hurtig og nem måde at løse rationelle ligninger på. Desværre kan denne metode kun bruges til rationelle ligninger, der indeholder mindst en rationel ligning eller brøkdel på hver side af ligningen. Hvis din ligning ikke opfylder disse tværproduktkrav, skal du muligvis bruge algebraiske operationer til at flytte delene til de rigtige steder.
-
For eksempel kan ligningen (x + 3)/4-x/(-2) = 0 let sættes i tværproduktform ved at tilføje x/(-2) til begge sider af ligningen, så den bliver til (x + 3)/4 = x/(-2).
Bemærk, at decimaltal og hele tal kan konverteres til brøker ved at give nævneren 1. (x + 3)/4 - 2, 5 = 5, for eksempel kan omskrives som (x + 3)/4 = 7, 5/ 1, hvilket gør det tilfredsstillende krydsmultiplikationstilstand
- Nogle rationelle ligninger kan ikke let reduceres til en form, der har en brøkdel eller rationel ligning på hver side. I sådanne tilfælde skal du bruge den mindste nævner tilgang.
Trin 2. Kryds multiplicere
Korsmultiplikation betyder at gange en af tællerne i en brøk med nævneren for en anden brøk og omvendt. Multiplicer tælleren for brøken til venstre med nævneren for brøken til højre. Gentag med højre nævner med venstre nævner.
Korsmultiplikation fungerer efter grundlæggende algebraiske principper. Rationelle ligninger og andre brøker kan gøres til ikke-fraktioner ved at gange dem med nævneren. Cross -produkt er dybest set en hurtig måde at multiplicere begge sider af en ligning med begge nævnere. Tror ikke? Prøv det - du får det samme resultat efter at have forenklet det
Trin 3. Gør de to produkter lig med hinanden
Efter krydsmultiplikation får du to multiplikationsresultater. Gør dem lig med hinanden og forenkle for at gøre ligningen så enkel som muligt.
For eksempel, hvis din oprindelige rationelle ligning var (x+3)/4 = x/(-2), efter kryds multiplicering, bliver din nye ligning -2 (x+3) = 4x. Hvis du vil, kan du også skrive det som -2x - 6 = 4x
Trin 4. Find værdien af din variabel
Brug algebraiske operationer til at finde værdien af din lignings variabel. Husk, at hvis x vises på begge sider af ligningen, skal du tilføje eller trække x fra begge sider af ligningen for at forlade x på kun den ene side af ligningen.
I vores eksempel kan vi dele begge sider af ligningen med -2, så x+3 = -2x. Ved at trække x fra begge sider giver 3 = -3x. Endelig, ved at dividere begge sider med -3, bliver resultatet -1 = x, som kan skrives som x = -1. Vi har fundet værdien af x og løst vores rationelle ligning
Metode 2 af 2: Find den mindst fællesnævner
Trin 1. Kend det nøjagtige tidspunkt for at bruge den mindste nævner
Den samme mindste nævner kan bruges til at forenkle rationelle ligninger, hvilket gør dem søgbare efter variable værdier. At finde den mindst fællesnævner er en god idé, hvis din rationelle ligning ikke let kan skrives i form af en brøk (og kun en brøk) på hver side af ligningen. Til løsning af rationelle ligninger med tre eller flere dele er den mindst fællesnævner nyttig. For at løse en rationel ligning med kun to dele er det imidlertid hurtigere at bruge krydsprodukt.
Trin 2. Kontroller nævneren for hver brøk
Identificer det mindste tal, som hver nævner kan dele og frembring et helt tal. Dette tal er den mindst fællesnævner for din ligning.
- Nogle gange er den mindste fællesnævner - det vil sige det mindste tal, der har alle faktorerne i nævneren - klart synlig. For eksempel, hvis din ligning er x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6, er det ikke svært at se det mindste tal, der har en faktor 3, 2 og 6, som er tallet 6.
- Imidlertid er den mindst fællesnævner for en rationel ligning ofte ikke tydeligt synlig. I et tilfælde som dette kan du prøve at kontrollere multipler af den større nævner, indtil du finder et tal, der har en faktor for alle de andre mindre nævnere. Ofte er den mindst fællesnævner produktet af to nævnere. For eksempel i ligningen x/8 + 2/6 = (x-3)/9 er den mindst fællesnævner 8*9 = 72.
- Hvis en eller flere af din fraktions nævnere har variabler, er denne proces vanskeligere, men mulig at gøre. I et tilfælde som dette er den mindst fællesnævner en ligning (med en variabel), der er delelig med alle de andre nævnere. For eksempel i ligningen 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) er den mindst fællesnævner 3x (x-1), fordi enhver nævner kan dele det-dividere med (x-1) giver 3x, dividere med 3x giver (x-1), og dividere med x giver 3 (x-1).
Trin 3. Gang hver brøk i den rationelle ligning med 1
At gange hver del med 1 virker ubrugeligt. Men her er tricket. 1 kan defineres som et hvilket som helst tal, der er det samme i både tælleren og nævneren, f.eks. -2/2 og 3/3, hvilket er den korrekte måde at skrive 1. Denne metode udnytter den alternative definition. Gang hver brøk i din rationelle ligning med 1, og skriv tallet 1 ned, som når det multipliceres med nævneren giver den mindste fællesnævner.
- I vores grundeksempel multiplicerer vi x/3 med 2/2 for at få 2x/6 og gange 1/2 med 3/3 for at få 3/6. 2x + 1/6 har allerede den mindste nævner, som er 6, så vi kan gange det med 1/1 eller lade det være i fred.
- I vores eksempel med en variabel i nævneren af fraktionen er processen lidt mere kompliceret. Da vores mindste nævner er 3x (x-1), multiplicerer vi hver rationelle ligning med noget, der returnerer 3x (x-1). Vi vil gange 5/(x-1) med (3x)/(3x), hvilket giver 5 (3x)/(3x) (x-1), gange 1/x med 3 (x-1)/3 (x- 1) som giver 3 (x-1)/3x (x-1), og multiplicerer 2/(3x) med (x-1)/(x-1) giver 2 (x-1)/3x (x- 1).
Trin 4. Forenkle og find værdien af x
Nu, da hver del af din rationelle ligning har den samme nævner, kan du fjerne nævneren fra din ligning og løse for tælleren. Multiplicer begge sider af ligningen for at få tællerværdien. Brug derefter algebraiske operationer til at finde værdien af x (eller hvilken variabel du vil løse) på den ene side af ligningen.
- I vores grundeksempel får vi 2x/6 + 3/6 = (3x + 1)/6 efter at have multipliceret alle delene med den alternative form 1. To brøker kan tilføjes, hvis de har samme nævner, så vi kan forenkle denne ligning til (2x+3)/6 = (3x+1)/6 uden at ændre værdien. Gang begge sider med 6 for at fjerne nævneren, så resultatet er 2x+3 = 3x+1. Træk 1 fra begge sider for at få 2x+2 = 3x, og træk 2x fra begge sider for at få 2 = x, som kan skrives som x = 2.
- I vores eksempel med en variabel i nævneren bliver vores ligning efter multiplikation med 1 5 (3x)/(3x) (x-1) = 3 (x-1)/3x (x-1) + 2 (x-1) /3x (x-1). Multiplicering af alle delene med den mindste nævner, så vi kan udelade nævneren, bliver til 5 (3x) = 3 (x-1) + 2 (x-1). Det gælder også 5x = 3x -3 + 2x -2, hvilket forenkler til 15x = x -5. Ved at trække x fra begge sider giver 14x = -5, hvilket i sidste ende forenkler til x = -5/14.
Tips
- Når du har løst variablen, skal du kontrollere dit svar ved at tilslutte variabelens værdi til den originale ligning. Hvis din variable værdi er korrekt, kan du forenkle din originale ligning til en simpel sætning, der altid er lig med 1 = 1.
- Bemærk, at du kan skrive ethvert polynom som en rationel ligning; sæt den over nævneren 1. Så x+3 og (x+3)/1 har samme værdi, men den anden ligning kan klassificeres som en rationel ligning, fordi den er skrevet som en brøk.
