Rodformen er en algebraisk sætning, der har tegnet på kvadratroden (eller terningrod eller højere). Denne formular kan ofte repræsentere to tal, der har samme værdi, selvom de ved første øjekast kan se forskellige ud (f.eks. 1/(sqrt (2) - 1) = sqrt (2) +1). Derfor har vi brug for en "standardformel" til denne form. Hvis der er to udsagn, begge i standardformlen, der ser anderledes ud, er de ikke det samme. Matematikere er enige om, at standardformuleringen af den kvadratiske form opfylder følgende krav:
- Undgå at bruge brøker
- Brug ikke brøkdele
- Undgå at bruge rodformen i nævneren
- Indeholder ikke multiplikation af to rodformer
- Tal under roden kan ikke rodfæstes længere
En praktisk anvendelse af dette er ved multiple choice -eksamener. Når du finder et svar, men dit svar ikke er det samme som de tilgængelige muligheder, skal du prøve at forenkle det til en standardformel. Da spørgsmålstagerne normalt skriver svar i standardformler, skal du gøre det samme med dine svar for at matche deres. I essayspørgsmål betyder kommandoer som "forenkle dit svar" eller "forenkle alle rødder", at eleverne skal udføre de følgende trin, indtil de opfylder standardformlen som ovenfor. Dette trin kan også bruges til at løse ligninger, selvom nogle typer ligninger er lettere at løse i ikke-standardformler.
Trin
Trin 1. Gennemgå om nødvendigt reglerne for drift af rødder og eksponenter (begge er lige - rødder er fraktioners beføjelser), som vi har brug for dem i denne proces
Gennemgå også reglerne for forenkling af polynomier og rationelle former, da vi bliver nødt til at forenkle dem.
Metode 1 af 6: Perfekte firkanter
Trin 1. Forenkle alle rødder, der indeholder perfekte firkanter
En perfekt firkant er produktet af et tal i sig selv, for eksempel 81, som er et produkt på 9 x 9. For at forenkle en perfekt firkant, skal du bare fjerne kvadratroden og skrive kvadratroden af tallet ned.
- For eksempel er 121 en perfekt firkant, fordi 11 x 11 er lig med 121. Så du kan forenkle roden (121) til 11 ved at fjerne rodtegnet.
- For at gøre dette trin lettere skal du huske de første tolv perfekte firkanter: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144
Trin 2. Forenkle alle rødder, der indeholder perfekte terninger
En perfekt terning er produktet af at gange et tal med sig selv to gange, for eksempel 27, som er produktet af 3 x 3 x 3. For at forenkle rodformen af en perfekt terning, skal du bare fjerne kvadratroden og skrive kvadratroden ned af nummeret.
For eksempel er 343 en perfekt terning, fordi den er et produkt af 7 x 7 x 7. Så terningen af 343 er 7
Metode 2 af 6: Konvertering af brøker til rødder
Eller ændre omvendt (det hjælper nogle gange), men bland dem ikke sammen i samme sætning som root (5) + 5^(3/2). Vi antager, at du vil bruge rodformen, og vi vil bruge symbolerne rod (n) til kvadratroden og sqrt^3 (n) til kubroden.
Trin 1. Tag en til fraktionens magt og konverter den til rodformen, for eksempel x^(a/b) = root til b -effekten af x^a
Hvis kvadratroden er i brøkform, skal du konvertere den til almindelig form. F.eks. Kvadratrod (2/3) af 4 = rod (4)^3 = 2^3 = 8
Trin 2. Konverter negative eksponenter til brøker, f.eks. X^-y = 1/x^y
Denne formel gælder kun for konstante og rationelle eksponenter. Hvis du har at gøre med en form som 2^x, skal du ikke ændre den, selvom problemet angiver, at x kan være en brøk eller et negativt tal
Trin 3. Flet samme stamme og forenkle den resulterende rationelle form.
Metode 3 af 6: Eliminering af fraktioner i rødder
Standardformlen kræver, at roden er et heltal.
Trin 1. Se på tallet under kvadratroden, hvis det stadig indeholder en brøkdel
Hvis stadig,…
Trin 2. Skift til en brøkdel bestående af to rødder ved hjælp af identitetsrot (a/b) = sqrt (a)/sqrt (b)
Brug ikke denne identitet, hvis nævneren er negativ, eller hvis det er en variabel, der kan være negativ. I dette tilfælde skal du først forenkle brøken
Trin 3. Forenkle hver perfekt firkant af resultatet
Det vil sige at konvertere sqrt (5/4) til sqrt (5)/sqrt (4) og derefter forenkle til sqrt (5)/2.
Trin 4. Brug andre forenklingsmetoder, såsom forenkling af komplekse brøker, kombination af lige vilkår osv
Metode 4 af 6: Kombination af multiplikationsrødder
Trin 1. Hvis du multiplicerer en rodform med en anden, skal du kombinere de to i en kvadratrod ved hjælp af formlen:
sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (ab). Skift for eksempel rod (2)*rod (6) til rod (12).
- Identiteten ovenfor, sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (ab), er gyldig, hvis tallet under kvadratets tegn ikke er negativt. Brug ikke denne formel, når a og b er negative, fordi du laver den fejl at lave sqrt (-1)*sqrt (-1) = sqrt (1). Udtrykket til venstre er lig med -1 (eller udefineret, hvis du ikke bruger komplekse tal), mens udsagnet til højre er +1. Hvis a og/eller b er negative, skal du først "ændre" tegnet som sqrt (-5) = i*sqrt (5). Hvis formen under rodtegnet er en variabel, hvis tegn er ukendt fra konteksten eller kan være positivt eller negativt, skal du lade det være som det er indtil videre. Du kan bruge den mere generelle identitet, sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (sgn (a))*sqrt (sgn (b))*sqrt (| ab |), der gælder for alle reelle tal a og b, men normalt hjælper denne formel ikke meget, fordi den tilføjer kompleksitet til at bruge funktionen sgn (signum).
- Denne identitet er kun gyldig, hvis røddernes former har den samme eksponent. Du kan gange forskellige kvadratrødder, f.eks. Sqrt (5)*sqrt^3 (7) ved at konvertere dem til den samme kvadratrod. For at gøre dette skal du midlertidigt konvertere kvadratroden til en brøk: sqrt (5) * sqrt^3 (7) = 5^(1/2) * 7^(1/3) = 5^(3/6) * 7 ^(2/6) = 125^(1/6) * 49^(1/6). Brug derefter multiplikationsreglen til at gange de to til kvadratroden af 6125.
Metode 5 af 6: Fjernelse af kvadratfaktoren fra roden
Trin 1. Fakturering af ufuldkomne rødder til primære faktorer
En faktor er et tal, der, når det ganges med et andet tal, danner et tal - f.eks. Er 5 og 4 to faktorer på 20. For at nedbryde ufuldkomne rødder skal du skrive alle faktorens faktorer ned (eller så mange som muligt, hvis tallet er for stort), indtil du har fundet en perfekt firkant.
Prøv f.eks. At finde alle faktorerne 45: 1, 3, 5, 9, 15 og 45. 9 er en faktor 45 og er også en perfekt firkant (9 = 3^2). 9 x 5 = 45
Trin 2. Fjern alle multiplikatorer, der er perfekte firkanter inden for kvadratroden
9 er en perfekt firkant, fordi den er produktet af 3 x 3. Tag 9’eren ud af kvadratroden, og erstat den med 3 foran kvadratroden, og lad 5 stå inde i kvadratroden. Hvis du "sætter" 3 tilbage i kvadratroden, skal du gange med sig selv for at lave 9, og hvis du gange med 5 returnerer den 45. 3 rødder af 5 er en enkel måde at udtrykke roden på 45.
Det vil sige, sqrt (45) = sqrt (9*5) = sqrt (9)*sqrt (5) = 3*sqrt (5)
Trin 3. Find den perfekte firkant i variablen
Kvadratroden af en kvadrat er | a |. Du kan forenkle dette til bare "a", hvis den kendte variabel er positiv. Kvadratroden af a til magten 3 når den er opdelt til kvadratroden af et kvadrat gange a - husk at eksponenterne summerer når vi gange to tal til effekten af a, så et kvadrat gange a er lig med a til tredje magt.
Derfor er en perfekt firkant i form af en terning en firkant
Trin 4. Fjern variablen, der indeholder den perfekte firkant, fra kvadratroden
Nu skal du tage en kvadrat fra kvadratroden og ændre den til | a |. Den enkle form af roden a til 3's magt er | a | rod a.
Trin 5. Kombiner de lige vilkår og forenkle alle rødderne i beregningsresultaterne
Metode 6 af 6: Rationaliser nævneren
Trin 1. Standardformlen kræver, at nævneren er et heltal (eller et polynom, hvis det indeholder en variabel) så meget som muligt
-
Hvis nævneren består af et udtryk under rodtegnet, f.eks. […]/Root (5), skal du multiplicere både tælleren og nævneren med den pågældende rod for at få […]*sqrt (5)/sqrt (5)*sqrt (5) = […]*rod (5)/5.
For kubens rødder eller højere multipliceres med den passende rod, så nævneren er rationel. Hvis nævneren er rod^3 (5), ganges tælleren og nævneren med sqrt^3 (5)^2
-
Hvis nævneren består i at tilføje eller fratrække to kvadratrødder såsom sqrt (2) + sqrt (6), multiplicerer kvantificatoren og nævneren med deres konjugat, som er den samme form, men med det modsatte tegn. Derefter […]/(rod (2) + rod (6)) = […] (rod (2) -rod (6))/(rod (2) + rod (6)) (rod (2) -rod (6)). Brug derefter identitetsformlen til forskellen på to firkanter [(a + b) (ab) = a^2-b^2] til at rationalisere nævneren, for at forenkle (sqrt (2) + sqrt (6)) (sqrt (2) -sqrt (6)) = sqrt (2)^2 -sqrt (6)^2 = 2-6 = -4.
- Dette gælder også for nævnere som 5 + sqrt (3), fordi alle heltal er rødder til andre heltal. [1/(5 + sqrt (3)) = (5-sqrt (3))/(5 + sqrt (3)) (5-sqrt (3)) = (5-sqrt (3))/(5^ 2-sqrt (3)^2) = (5-sqrt (3))/(25-3) = (5-sqrt (3))/22]
- Denne metode gælder også for tilføjelse af rødder, såsom sqrt (5) -sqrt (6)+sqrt (7). Hvis du grupperer dem i (sqrt (5) -sqrt (6))+sqrt (7) og multiplicerer med (sqrt (5) -sqrt (6))-sqrt (7), er svaret ikke i rationel form, men stadig i a+b*root (30), hvor a og b allerede er rationelle tal. Gentag derefter processen med konjugaterne a+b*sqrt (30) og (a+b*sqrt (30)) (a-b*sqrt (30)) vil være rationelle. I det væsentlige, hvis du kan bruge dette trick til at fjerne et rodtegn i nævneren, kan du gentage det mange gange for at fjerne alle rødderne.
- Denne metode kan også bruges til nævnere, der indeholder en højere rod, såsom den fjerde rod af 3 eller den syvende rod af 9. Multiplicer tælleren og nævneren med konjugatet af nævneren. Desværre kan vi ikke direkte få konjugatet af nævneren, og det er svært at gøre det. Vi kan finde svaret i en algebra -bog om talteori, men det vil jeg ikke gå ind på.
Trin 2. Nu er nævneren i rationel form, men tælleren ser rodet ud
Nu er alt du skal gøre at gange det med konjugatet af nævneren. Fortsæt og multiplicér som vi ville multiplicere polynomier. Kontroller, om nogen vilkår kan udelades, forenkles eller kombineres, hvis det er muligt.
Trin 3. Hvis nævneren er et negativt heltal, multipliceres både tæller og nævner med -1 for at gøre det positivt
Tips
- Du kan søge online efter websteder, der kan hjælpe med at forenkle rodformer. Skriv blot ligningen med rodtegnet, og efter at have trykket på Enter, vises svaret.
- For enklere spørgsmål må du ikke bruge alle trinene i denne artikel. For mere komplekse spørgsmål skal du muligvis bruge flere trin mere end én gang. Brug de "enkle" trin et par gange, og kontroller, om dit svar passer til de standardformuleringskriterier, vi diskuterede tidligere. Hvis dit svar er i standardformlen, er du færdig; men hvis ikke, kan du kontrollere et af trinene ovenfor for at hjælpe dig med at få det gjort.
- De fleste henvisninger til den "anbefalede standardformel" for røddernes form gælder også for komplekse tal (i = root (-1)). Selvom en sætning indeholder et "i" i stedet for en rod, så undgå nævnere, der stadig indeholder et i så meget som muligt.
- Nogle af instruktionerne i denne artikel antager, at alle rødder er firkanter. De samme generelle principper gælder for rødderne til højere magter, selvom nogle dele (især rationalisering af nævneren) kan være ret vanskelige at arbejde med. Beslut selv, hvilken form du vil have, f.eks. Sqr^3 (4) eller sqr^3 (2)^2. (Jeg kan ikke huske hvilken form der normalt foreslås i lærebøger).
- Nogle af instruktionerne i denne artikel bruger ordet "standardformel" til at beskrive "almindelig form". Forskellen er, at standardformlen kun accepterer formularen 1+sqrt (2) eller sqrt (2) +1 og betragter de andre former som ikke-standard; Almindelig form forudsætter, at du, læseren, er smart nok til at se "ligheden" mellem disse to tal, selvom de ikke er identiske skriftligt ('samme' betyder i deres aritmetiske egenskab (kommutativ tilføjelse), ikke deres algebraiske egenskab (rod (2) er roden ikke-negativ for x^2-2)). Vi håber, at læserne vil forstå den lille skødesløshed ved brugen af denne terminologi.
- Hvis nogle af sporene virker tvetydige eller modstridende, skal du gøre alle trin, der er entydige og konsekvente, og derefter vælge den form, du foretrækker.
