Sådan bestemmes bestemmelsen af en 3X3 -matrix: 11 trin (med billeder)

2024 Forfatter: Jason Gerald | [email protected]. Sidst ændret: 2024-01-15 08:11

Matrikens determinant bruges ofte i beregning, lineær algebra og geometri på et højere niveau. Uden for akademia bruger computergrafikingeniører og programmører hele tiden matricer og deres determinanter. Hvis du allerede ved, hvordan du bestemmer determinanten for en matrix i størrelsesordenen 2x2, skal du bare lære, hvornår du skal bruge addition, subtraktion og tider for at bestemme determinanten for en matrix af orden 3x3.

Trin

Del 1 af 2: Bestemmelse af determinanterne

Skriv din 3 x 3 ordensmatrix. Vi starter med en matrix A af orden 3x3 og forsøger at finde determinanten | A |. Nedenfor er den generelle form for matrixnotation, vi vil bruge, og et eksempel på vores matrix:

		-en11	-en12	-en13		1	5	3
M	=	-en21	-en22	-en23	=	2	4	7
		-en31	-en32	-en33		4	6	2

Trin 1. Vælg en række eller kolonne

Foretag dit valg til referencerække eller kolonne. Uanset hvad du vælger, får du stadig det samme svar. Vælg midlertidigt den første række. Vi giver dig nogle forslag til valg af den lettest at beregne mulighed i det næste afsnit.

Vælg den første række i prøve -matrixen A. Omkring tallet 1 5 3. Cirkel a i fælles notation₁₁ -en₁₂ -en₁₃.

Trin 2. Kryds rækken og kolonnen i dit første element

Se på den række eller kolonne, du har rundet, og vælg det første element. Kryds rækker og kolonner. Der vil kun være 4 numre uberørt. Lav disse 4 tal til en 2 x 2 ordensmatrix.

• I vores eksempel er vores referencerække 1 5 3. Det første element er i 1. række og 1. kolonne. Kryds hele 1. række og 1. kolonne. Skriv de resterende elementer i en 2 x 2 matrix:
• 1 5 3
• 2 4 7
• 4 6 2

Trin 3. Bestem determinanten for 2 x 2 ordensmatrixen

Husk, bestem determinanten for matrixen [^{-en_c b_d] ved annonce - bc. Du har måske også lært at bestemme determinanten for en matrix ved at tegne et X mellem en 2 x 2. Matrix de to tal, der er forbundet med linjen / af X. er. Brug denne formel til at beregne determinanten for en 2 x 2 matrix.}

• I eksemplet er determinanten for matrixen [^{4₆ 7₂}] = 4*2 - 7*6 = - 34.
• Denne determinant kaldes mindre af de elementer, du valgte i den oprindelige matrix. I dette tilfælde har vi lige fundet den mindreårige af a₁₁.

Trin 4. Gang det tal, der findes med det element, du har valgt

Husk, at du har valgt elementer fra referencerækken (eller kolonnen), da du besluttede, hvilke rækker og kolonner der skulle slettes. Multiplicer dette element med determinanten for den 2 x 2 matrix, du har fundet.

I eksemplet vælger vi en₁₁ som er 1. Gang dette tal med -34 (determinanten for 2 x 2 matrix) for at få 1*-34 = - 34.

Trin 5. Bestem symbolet for dit svar

Det næste trin er, at du skal gange dit svar med 1 eller -1 for at få kofaktor af det element, du valgte. Det symbol, du bruger, afhænger af, hvor elementerne er i matrixen 3 x 3. Husk, at denne symboltabel bruges til at bestemme dit elements multiplikator:

• + - +
• - + -
• + - +
• Fordi vi vælger en₁₁ som er markeret med +, vil vi gange tallet med +1 (eller med andre ord, ikke ændre det). Det svar, der vises, vil være det samme, nemlig - 34.
• En anden måde at definere et symbol på er at bruge formlen (-1) ^{i+j hvor i og j er række- og kolonneelementer.}

Trin 6. Gentag denne proces for det andet element i din referencerække eller kolonne

Vend tilbage til den originale 3 x 3 matrix, som du cirkulerede om i rækken eller kolonnen tidligere. Gentag den samme proces med elementet:

• Streg elementets række og kolonne ud.

  I dette tilfælde skal du vælge elementet a₁₂ (som er 5 værd). Kryds den første række (1 5 3) og den anden kolonne (5 4 6).

• Drej de resterende elementer i en 2x2 matrix.

  I vores eksempel er 2x2 ordensmatrix for det andet element [²₄ ⁷₂].

• Bestem determinanten for denne 2x2 matrix.

  Brug ad - bc formlen. (2*2 - 7*4 = -24)

• Multiplicer med elementerne i din valgte 3x3 matrix.

  -24 * 5 = -120

• Beslut, om ovenstående resultat skal multipliceres med -1 eller ej.

  Brug en tabel med symboler eller formler (-1)^ij. Vælg element a₁₂ symboliseret - i symboltabellen. Erstat vores svarsymbol med: (-1)*(-120) = 120.

Trin 7. Gentag den samme proces for det tredje element

Du har endnu en kofaktor til at bestemme determinanten. Tæl i for det tredje element i din referencerække eller kolonne. Her er en hurtig måde at beregne kofaktoren a₁₃ i vores eksempel:

• Kryds den første række og 3. kolonne for at få [²₄ ⁴₆].
• Determinanten er 2*6 - 4*4 = -4.
• Gang med element a₁₃: -4 * 3 = -12.
• Element a₁₃ symbol + i symboltabellen, så svaret er - 12.

Trin 8. Tilføj resultaterne af dine tre tællinger

Dette er det sidste trin. Du har beregnet tre kofaktorer, en for hvert element i en række eller kolonne. Tilføj disse resultater, og du finder determinanten for en 3 x 3 matrix.

I eksemplet er matrixens determinant - 34 + 120 + - 12 = 74.

Del 2 af 2: Gør problemløsning lettere

Trin 1. Vælg den række eller kolonne med referencer, der har flest 0'er

Husk, at du kan vælge enhver række eller kolonne, du ønsker. Uanset hvad du vælger, vil svaret være det samme. Hvis du vælger en række eller kolonne med tallet 0, skal du kun beregne kofaktoren med elementer, der ikke er 0, fordi:

• Vælg f.eks. Den 2. række, der har elementet a₂₁, a₂₂, fond₂₃. For at løse dette problem vil vi bruge 3 forskellige 2 x 2 matricer, lad os sige A₂₁, A.₂₂, Dig₂₃.
• Determinanten for 3x3 matrixen er a₂₁| A₂₁| - a₂₂| A₂₂| + a₂₃| A₂₃|.
• Hvis en₂₂ fond₂₃ værdi 0, vil den eksisterende formel være a₂₁| A₂₁| - 0*| A₂₂| + 0*| A₂₃| = a₂₁| A₂₁| - 0 + 0 = a₂₁| A₂₁|. Derfor beregner vi kun kofaktoren for et element.

Trin 2. Brug ekstra rækker til at gøre matrixproblemer lettere

Hvis du tager værdierne fra en række og tilføjer dem til en anden række, ændres matrixens determinant ikke. Det samme gælder for kolonner. Du kan gøre dette gentagne gange eller gange med en konstant, før du tilføjer det for at få så mange 0'er i matrixen som muligt. Dette kan spare meget tid.

• For eksempel har du en matrix med 3 rækker: [9 -1 2] [3 1 0] [7 5 -2]
• For at fjerne tallet 9, der er i position a₁₁, kan du gange værdien i 2. række med -3 og tilføje resultatet til den første række. Nu er den nye første linje [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2].
• Den nye matrix har rækker [0 -4 2] [3 1 0] [7 5 -2]. Brug det samme trick på kolonner til at lave en₁₂ være tallet 0.

Trin 3. Brug hurtigmetoden til trekantede matricer

I dette særlige tilfælde er determinanten produktet af elementerne på hoveddiagonalen, af a₁₁ øverst til venstre til a₃₃ nederst til højre i matrixen. Denne matrix er stadig en 3x3 matrix, men "trekanten" -matrixen har et specielt talmønster, der ikke er 0:

• Øvre trekantede matrix: Alle elementer, der ikke er 0, er på eller over hoveddiagonalen. Alle tal under hoveddiagonalen er 0.
• Nederste trekantede matrix: Alle elementer, der ikke er 0, er på eller under hoveddiagonalen.
• Diagonal matrix: Alle elementer, der ikke er 0, er på hoveddiagonalen (delsættet af ovenstående matricetyper).

Tips

• Hvis alle elementerne i en række eller kolonne er 0, er determinanten for matrixen 0.
• Denne metode kan bruges til alle størrelser af kvadratiske matricer. For eksempel, hvis du bruger denne metode til en matrix af ordre 4x4, vil din "strejke" efterlade en matrix af orden 3x3, hvis determinant kan bestemmes ved at følge ovenstående trin. Husk, at det kan være kedeligt at gøre dette!